Spazi vettoriali - dimostrazioni
Ciao a tutti,
sper non sia eccessivamente banale, sto studiando (in attesa che inizi il trimestre) sull'Abate "Geometria" ed 1996.
Sono al capitolo 4 (spazi vettoriali), il primo esercizio a fine capitolo recita sostanzialmente:
Dimostra che
$ 0v = O $ per ogni $ vin V $ utilizzando solo le altre porprietà di spazio vettoriale. (Suggerimento: parti da $ 0+0=0 $ ).
Questo è quello che ho fatto:
se $ 0+0=0 $ allora $ 0v = O $ si può scrivere come $ (0+0)v = O $
ciò equivale a $ 0v + 0v = O $ che è uguale a $ 0(v + v) = O $
Ora dato che $ 0v = O $ e che $ 0(v+v) = O $ allora è verificato (?) che $ 0v = O $ per ogni $ vin V $.
E' corretta come dimostrazione?
sper non sia eccessivamente banale, sto studiando (in attesa che inizi il trimestre) sull'Abate "Geometria" ed 1996.
Sono al capitolo 4 (spazi vettoriali), il primo esercizio a fine capitolo recita sostanzialmente:
Dimostra che
$ 0v = O $ per ogni $ vin V $ utilizzando solo le altre porprietà di spazio vettoriale. (Suggerimento: parti da $ 0+0=0 $ ).
Questo è quello che ho fatto:
se $ 0+0=0 $ allora $ 0v = O $ si può scrivere come $ (0+0)v = O $
ciò equivale a $ 0v + 0v = O $ che è uguale a $ 0(v + v) = O $
Ora dato che $ 0v = O $ e che $ 0(v+v) = O $ allora è verificato (?) che $ 0v = O $ per ogni $ vin V $.
E' corretta come dimostrazione?
Risposte
Non puoi partire dall'assunzione che $0v = O$. Io proverei a ragionare in questo modo. Vogliamo dimostrare che $0v = O$. Chiamiamo $w = 0v$ e cerchiamo di dimostrare che $w=O$. Da quello che hai fatto vedere tu, otteniamo $w = 2w$.
Quindi possiamo concludere dicendo che...
Quindi possiamo concludere dicendo che...
Grazie Pappappero per la risposta,
credo però (correggimi se sto dicendo cavolate) che il testo dell'esercizio mi chieda di dimostrare la validità dell'uguaglianza
$ 0v=O $ per ogni $ v in V $.
L'uguaglianza $ 0v = O $ (da cui sono partito) è una proprietà dello spazio vettoriale che mi viene data all'interno della sua definizione (e l'esercizio mi chiede di dimostrarlo per ogni $ v in V $ suggerendomi di partire da $ 0+0=0 $ ).
Ti torna?
credo però (correggimi se sto dicendo cavolate) che il testo dell'esercizio mi chieda di dimostrare la validità dell'uguaglianza
$ 0v=O $ per ogni $ v in V $.
L'uguaglianza $ 0v = O $ (da cui sono partito) è una proprietà dello spazio vettoriale che mi viene data all'interno della sua definizione (e l'esercizio mi chiede di dimostrarlo per ogni $ v in V $ suggerendomi di partire da $ 0+0=0 $ ).
Ti torna?
Il tuo $v$ nella definizione è generico, se dici "$0v=O$ è una proprietà dello spazio vettoriale" stai dicendo $forall v$ $0v = O$, che è la tua tesi, quindi non ha senso prenderla come ipotesi. Quel che ti viene chiesto è di dimostrare $forall v$ $0v = O$ usando le altre proprietà dello spazio vettoriale (ad esempio le varie distributive... 
) e magari qualche piccolo artificio (ti viene suggerito di tener conto che "0 + 0 = 0").
) e magari qualche piccolo artificio (ti viene suggerito di tener conto che "0 + 0 = 0").
Ok,
grazie per i chiarimenti sia ad Epimenide che a Pappappero,
ho svolto come segue:
$ lambda v = w, lambda in R $
$ lambda v - w = O $ e ciò implica
$ w = lambda v $
per cui
$ lambda v - lambda v = O $
e quindi $ v (lambda - lambda) = O $ da cui si ha $ 0v = O $
grazie per i chiarimenti sia ad Epimenide che a Pappappero,
ho svolto come segue:
$ lambda v = w, lambda in R $
$ lambda v - w = O $ e ciò implica
$ w = lambda v $
per cui
$ lambda v - lambda v = O $
e quindi $ v (lambda - lambda) = O $ da cui si ha $ 0v = O $
"CS_79":
Ok,
grazie per i chiarimenti sia ad Epimenide che a Pappappero,
ho svolto come segue:
$ lambda v = w, lambda in R $
$ lambda v - w = O $ e ciò implica
$ w = lambda v $
per cui
$ lambda v - lambda v = O $
e quindi $ v (lambda - lambda) = O $ da cui si ha $ 0v = O $
Sì, è corretta, se vuoi snellirla puoi fare:
$forall lambda in \mathbb(K)$ $lambda v = lambda v$ (identità banalmente vera)
$lambda v - lambda v = O$ (per le proprietà di gruppo di uno spazio vettoriale rispetto alla somma vettoriale)
$(lambda - lambda) v = O$ (per una delle associative)
$0v=O$ (per la proprietà del campo $\mathbb(K)$)
ma è esattamente quello che hai fatto tu "sbarbato"
@CS_79,
devi dimostrare "\( \forall v \in V( 0_k \cdot v =0_v)\)", ove \( V \) sarà spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad \(+ \) e \( \cdot \), ragiona così:
visto che \( V \) è chiuso rispetto ad \( \cdot \) ed esiste per ipotesi \( 0_k \) e \( V \) è non vuoto, consideriamo la composizione rispetto ad \( \cdot \) di \( 0_k \) e \( v \in V \), ovvero \( 0_k \cdot v = (0_k +_k 0_k) \cdot v= 0_k \cdot v + 0_k \cdot v \), inoltre \( 0_k \cdot v = 0_k \cdot v + 0_v \) ergo \( 0_k \cdot v = 0_k \cdot v + 0_v = 0_k \cdot v + 0_k \cdot v \), ovviamente per ipotesi \( v \) è gruppo (abeliano) e vale la regola di semplificazione quindi "\( 0_k \cdot v + 0_v = 0_k \cdot v + 0_k \cdot v \to 0_v = 0_k \cdot v \)"
Saluti
P.S.=Spero di non aver tralasciato o scritto male qualche indice!
"CS_79":
Ciao a tutti,
sper non sia eccessivamente banale, sto studiando (in attesa che inizi il trimestre) sull'Abate "Geometria" ed 1996.
Sono al capitolo 4 (spazi vettoriali), il primo esercizio a fine capitolo recita sostanzialmente:
Dimostra che
$ 0v = O $ per ogni $ vin V $ utilizzando solo le altre porprietà di spazio vettoriale. (Suggerimento: parti da $ 0+0=0 $ ).
Questo è quello che ho fatto:
se $ 0+0=0 $ allora $ 0v = O $ si può scrivere come $ (0+0)v = O $
ciò equivale a $ 0v + 0v = O $ che è uguale a $ 0(v + v) = O $
Ora dato che $ 0v = O $ e che $ 0(v+v) = O $ allora è verificato (?) che $ 0v = O $ per ogni $ vin V $.
E' corretta come dimostrazione?
devi dimostrare "\( \forall v \in V( 0_k \cdot v =0_v)\)", ove \( V \) sarà spazio vettoriale su un campo \( K \) rispetto ad \(+ \) e \( \cdot \), ragiona così:
visto che \( V \) è chiuso rispetto ad \( \cdot \) ed esiste per ipotesi \( 0_k \) e \( V \) è non vuoto, consideriamo la composizione rispetto ad \( \cdot \) di \( 0_k \) e \( v \in V \), ovvero \( 0_k \cdot v = (0_k +_k 0_k) \cdot v= 0_k \cdot v + 0_k \cdot v \), inoltre \( 0_k \cdot v = 0_k \cdot v + 0_v \) ergo \( 0_k \cdot v = 0_k \cdot v + 0_v = 0_k \cdot v + 0_k \cdot v \), ovviamente per ipotesi \( v \) è gruppo (abeliano) e vale la regola di semplificazione quindi "\( 0_k \cdot v + 0_v = 0_k \cdot v + 0_k \cdot v \to 0_v = 0_k \cdot v \)"
Saluti
P.S.=Spero di non aver tralasciato o scritto male qualche indice!
La dimostrazione del post di garnak.olegovitc è corretta.
Quella precedente lo è se si assume che $(-\lambda)v=-(\lambda v)$ ma in genere questo fatto viene dimostrato dopo aver dimostrato che $0v = O$, sebbene siano del tutto equivalenti. La dimostrazione che avevo in mente io è la seguente.
Considera $w = 0v$ (per un generico $v$ e un $w$ che chiaramente, a priori, dipende da questo $v$). Quindi $w = 0v = (0+0)v = 0v +0v = w+w= 2w$.
Perciò $w=2w$ e dunque $w - w = 2w - w$ che ti porta a $O= w$.
In questo modo dimostri che per ogni $v$, $0v = O$.
Quella precedente lo è se si assume che $(-\lambda)v=-(\lambda v)$ ma in genere questo fatto viene dimostrato dopo aver dimostrato che $0v = O$, sebbene siano del tutto equivalenti. La dimostrazione che avevo in mente io è la seguente.
Considera $w = 0v$ (per un generico $v$ e un $w$ che chiaramente, a priori, dipende da questo $v$). Quindi $w = 0v = (0+0)v = 0v +0v = w+w= 2w$.
Perciò $w=2w$ e dunque $w - w = 2w - w$ che ti porta a $O= w$.
In questo modo dimostri che per ogni $v$, $0v = O$.
Siete stati tutti molto chiari e per questo vi ringrazio. Ho "catturato" qualcosa da ognuno.
Ciao
CS
Ciao
CS
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