Spazi vettoriali dimostrazione
Sia $B={v_1....v_n}$ un sottoinsieme (finito) del $mathbb(K)$-spazio vettoriale $V$, allora $B$ è base se e solo se per ogni $v in V$ ESISTE UNICO $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tale che $v=x_1v_1 + … +x_n v_n$.
Dimostrare che dati unici $(x_1, ..., x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $B$ è base.
Per essere base devo dimostrare
[list=1][*:2ov1u2sh] $text(span)(B)=V$
[/*:m:2ov1u2sh]
[*:2ov1u2sh] $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti[/*:m:2ov1u2sh][/list:o:2ov1u2sh]
[con $text(span)$ indico l’involucro lineare]
Il punto 1 ho fatto così: se esiste unico $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $text(span)(B)=V$
Però ora non so come dimostrare il punto 2, perché dalla definizione di indipendenza lineare potrei dire che $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti solo se sapessi che $x_1 = … = x_n =0$ ma in tal caso non penso possa esistere essendo unici.
Grazie
Dimostrare che dati unici $(x_1, ..., x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $B$ è base.
Per essere base devo dimostrare
[list=1][*:2ov1u2sh] $text(span)(B)=V$
[/*:m:2ov1u2sh]
[*:2ov1u2sh] $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti[/*:m:2ov1u2sh][/list:o:2ov1u2sh]
[con $text(span)$ indico l’involucro lineare]
Il punto 1 ho fatto così: se esiste unico $(x_1, …, x_n) in mathbb(K)^n$ tali che $v=x_1 v_1 + … + x_n v_n$ allora $text(span)(B)=V$
Però ora non so come dimostrare il punto 2, perché dalla definizione di indipendenza lineare potrei dire che $B$ è formato da vettori linearmente indipendenti solo se sapessi che $x_1 = … = x_n =0$ ma in tal caso non penso possa esistere essendo unici.
Grazie
Risposte
Qual è la definizione di vettori indipendenti?
"gugo82":
Qual è la definizione di vettori indipendenti?
Quella che ho scritto sopra...cioè che i vettori $v1+...+vn$ si definiscono linearmente indipendenti se
$a1v1+a2v2+....anvn=0$ implica necessariamente che $a1=a2...=an=0$
Nessuno riesce a darmi uno spunto per concludere la dimostrazione?
"arnett":
Tu sai che ogni vettore $v\inV$ ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$. Qual è la decomposizione di $0$?
Non ho mai sentito parlare di decomposizione di un vettore...
L'ha scritto …
"arnett":
… ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$ …
"axpgn":[/quote]
L'ha scritto … [quote="arnett"]… ha un'unica decomposizione $v=x_1v_1+...+x_nv_n$ per scalari $x_1,...,x_n$ …
Il termine DECOMPOSIZIONE non l'ho mai sentito... che poi ce lo abbiamo spiegato con un nome diverso può essere
Capisco ma arnett ha scritto cos'è, non fermarti alla primissima difficoltà, cerca di approfondire quello che ti viene detto anche se magari non completo …
"arnett":
Una decomposizione è solo una scrittura della forma che ho detto: $v=x_1v?1+...+x_nv_n$.
Sicuramente $0=0v_1+...+0v_n$. Ma questa scrittura è unica, quindi...
Non capisco il perché debba essere unica... ciò significa che l'unica combinazione di $x1+.....xn$ è quella nulla?
Nel senso ho capito che essendo unica di certo allora il vettore $B$ sarà linearmente indipendente e di conseguenza $B$ sarà base
@aletzunny
Supponiamo esista (come da ipotesi) una sola combinazione lineare dei vettori che crea ogni singolo vettore di V, allora anche il vettore nullo deve essere ottenuto da un'unica combinazione lineare.
Se esistono più comb. lin. che danno il vettore nullo i vettori non sono lin. indip..
Se lo sono invece, l'unica comb. lineare è quella che hai scritto.
Ergo, se quella è l'unica comb. lin. (da ipotesi), allora sono n vettori indip. e quindi formano una base.
Supponiamo esista (come da ipotesi) una sola combinazione lineare dei vettori che crea ogni singolo vettore di V, allora anche il vettore nullo deve essere ottenuto da un'unica combinazione lineare.
Se esistono più comb. lin. che danno il vettore nullo i vettori non sono lin. indip..
Se lo sono invece, l'unica comb. lineare è quella che hai scritto.
Ergo, se quella è l'unica comb. lin. (da ipotesi), allora sono n vettori indip. e quindi formano una base.
Grazie
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