Spazi vettoriali di dimensione infinita
ciao, sono uno studente di ingegneria biomedica e la matematica che si fa qui e' per ingegneri, quindi priva di veri fondamenti e sicurezze.
ho approfondito lo studio dell'algebra lineare di dimensione finita ma i corsi che seguo (ad esempio analisi dei segnali) richiedono di trattare le funzioni come elementi di uno spazio vettoriale di dimensione infinita.
le mie domande sono:
dove posso trovare un resoconto completo della teoria sugli spazi infinitamente generati?
in alternativa, qualcuno sa dirmi quali sono le differenze nelle proprietà delle applicazioni lineare?
ad esempio, mi sembra di capire che la serie di Fourier faccia uso delle proprietà di algebra lineare e, sotto determinate condizioni, alcune funzioni possono essere rappresentate da questa serie.
principalmente il mio obbiettivo e' arrivare alla definizione teorica della serie di fourier.
grazie!
ho approfondito lo studio dell'algebra lineare di dimensione finita ma i corsi che seguo (ad esempio analisi dei segnali) richiedono di trattare le funzioni come elementi di uno spazio vettoriale di dimensione infinita.
le mie domande sono:
dove posso trovare un resoconto completo della teoria sugli spazi infinitamente generati?
in alternativa, qualcuno sa dirmi quali sono le differenze nelle proprietà delle applicazioni lineare?
ad esempio, mi sembra di capire che la serie di Fourier faccia uso delle proprietà di algebra lineare e, sotto determinate condizioni, alcune funzioni possono essere rappresentate da questa serie.
principalmente il mio obbiettivo e' arrivare alla definizione teorica della serie di fourier.
grazie!
Risposte
Innanzitutto mi scuso ché non riesco a scrivere una risposta esauriente e completa, ma purtroppo non ho tempo\voglia\forza; però i miei complimenti e la mia invidia, perché anch'io al mio primo anno di università mi domandavo degli spazi vettoriali di dimensione infinita, e nessun docente me ne voleva parlare; oltre a facce truci, occhi storti e parole torve...
Iniziamo con una definizione di base!
Definizione: uno spazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{V}\) (reale o complesso, solo per semplicità), si definisce di dimensione infinita se non esiste alcun sottoinsieme finito \(\displaystyle S\) tale che ogni vettore sia una combinazione lineare (finita) degli elementi di \(\displaystyle S\).
Sostanzialmente la definizione dice tutto; però c'è un particolare da tenere presente: in essa si parla di combinazioni lineari finite!, e non è un particolare da poco, in quanto ci si dovrebbe porre il problema di cosa sia o cosa si voglia che sia una combinazione lineare infinita?!
Io conosco due soluzioni a questa domanda: la prima ed è la più facile, consiste semplicemente nell'affermare che \(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_ie_i\), con \(\displaystyle I\) insieme infinito, \(\displaystyle\lambda_i\in\mathbb{R}\) o \(\displaystyle\mathbb{C}\) ed \(\displaystyle e_i\in\mathbb{V}\), è un oggetto che esiste "da qualche parte" denotabile come \(\displaystyle\mathbb{V}[[ I ]]\).
La seconda consiste nel dare un significato preciso a quella "sommatoria", quando l'insieme degli indici è un insieme numerabile: ovvero definirla come il limite di una successione; però cos'è il limite in uno spazio vettoriale? C'è il bisogno di almeno una topologia (da cui gli spazi vettoriali topologici, di cui non scriverò) o (volendo prendercela di lusso) di una metrica o norma, da cui gli spazi (vettoriali) metrici e gli spazi normati.
La prossima volta scriverò degli spazi normati!
Iniziamo con una definizione di base!
Definizione: uno spazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{V}\) (reale o complesso, solo per semplicità), si definisce di dimensione infinita se non esiste alcun sottoinsieme finito \(\displaystyle S\) tale che ogni vettore sia una combinazione lineare (finita) degli elementi di \(\displaystyle S\).
Sostanzialmente la definizione dice tutto; però c'è un particolare da tenere presente: in essa si parla di combinazioni lineari finite!, e non è un particolare da poco, in quanto ci si dovrebbe porre il problema di cosa sia o cosa si voglia che sia una combinazione lineare infinita?!
Io conosco due soluzioni a questa domanda: la prima ed è la più facile, consiste semplicemente nell'affermare che \(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_ie_i\), con \(\displaystyle I\) insieme infinito, \(\displaystyle\lambda_i\in\mathbb{R}\) o \(\displaystyle\mathbb{C}\) ed \(\displaystyle e_i\in\mathbb{V}\), è un oggetto che esiste "da qualche parte" denotabile come \(\displaystyle\mathbb{V}[[ I ]]\).
La seconda consiste nel dare un significato preciso a quella "sommatoria", quando l'insieme degli indici è un insieme numerabile: ovvero definirla come il limite di una successione; però cos'è il limite in uno spazio vettoriale? C'è il bisogno di almeno una topologia (da cui gli spazi vettoriali topologici, di cui non scriverò) o (volendo prendercela di lusso) di una metrica o norma, da cui gli spazi (vettoriali) metrici e gli spazi normati.
La prossima volta scriverò degli spazi normati!
Eccomi qua a parlare di spazi (vettoriali) metrici, e riparto dal concetto di combinazione lineare "infinita" di vettori; si capisce da subito che volendo definire questo concetto come un limite di successione di vettori, richiede una scelta di base.
Se si vuole definire una combinazione lineare "infinita numerabile" di vettori, abbiamo tutti i diritti di parlare di successioni; altrimenti, se vogliamo dare un significato a una scrittura del tipo \(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_ie_i\) con \(\displaystyle\lambda_i\in\mathbb{C}\) od \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle e_i\in\mathbb{V}\) ed \(\displaystyle I\) un insieme infinito più che numerabile: formalmente non si può parlare di successione, oltre ad altri problemi inerenti al significato di elemento precedente\successivo di uno dato...
Questo problema è evitabile affermando\ipotizzando\assiomatizzando che \(\displaystyle I\) sia un insieme ordinabile e, invece, di successione si parlerà di reti! ...ma lasciamo stare le reti, e lavoriamo con le successioni.
Il problema è dare un significato formale all'affermare che una successione di vettori converge; l'idea più semplice, evitando topologie esotiche, è quella di formalizzare l'espressione che la successione si avvicina a un vettore ben definito: ovvero si inizia col definire una metrica o distanza \(\displaystyle d\) tra i vettori di \(\displaystyle\mathbb{V}\), poi nello spazio delle successioni \(\displaystyle\mathbb{V}^{\mathbb{N}}\) si considera il sottospazio \(\displaystyle\widetilde{\mathbb{V}}\) delle successioni convergenti rispetto a \(\displaystyle d\).
Però ci sono due problemi: \(\displaystyle\widetilde{\mathbb{V}}\) esiste? Questi è uno spazio vettoriale?
Chiudo questa post rispondendo solo alla prima domanda: un modo per affermare che \(\displaystyle\widetilde{\mathbb{V}}\) esiste, anzi per costruirlo "esplicitamente", consiste nel considerare le successioni di vettori di \(\displaystyle\mathbb{V}\) che soddisfano la usuale condizione di Cauchy rispetto alla metrica \(\displaystyle d\)!
Se si vuole definire una combinazione lineare "infinita numerabile" di vettori, abbiamo tutti i diritti di parlare di successioni; altrimenti, se vogliamo dare un significato a una scrittura del tipo \(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_ie_i\) con \(\displaystyle\lambda_i\in\mathbb{C}\) od \(\displaystyle\mathbb{R}\) ed \(\displaystyle e_i\in\mathbb{V}\) ed \(\displaystyle I\) un insieme infinito più che numerabile: formalmente non si può parlare di successione, oltre ad altri problemi inerenti al significato di elemento precedente\successivo di uno dato...
Questo problema è evitabile affermando\ipotizzando\assiomatizzando che \(\displaystyle I\) sia un insieme ordinabile e, invece, di successione si parlerà di reti! ...ma lasciamo stare le reti, e lavoriamo con le successioni.
Il problema è dare un significato formale all'affermare che una successione di vettori converge; l'idea più semplice, evitando topologie esotiche, è quella di formalizzare l'espressione che la successione si avvicina a un vettore ben definito: ovvero si inizia col definire una metrica o distanza \(\displaystyle d\) tra i vettori di \(\displaystyle\mathbb{V}\), poi nello spazio delle successioni \(\displaystyle\mathbb{V}^{\mathbb{N}}\) si considera il sottospazio \(\displaystyle\widetilde{\mathbb{V}}\) delle successioni convergenti rispetto a \(\displaystyle d\).
Però ci sono due problemi: \(\displaystyle\widetilde{\mathbb{V}}\) esiste? Questi è uno spazio vettoriale?
Chiudo questa post rispondendo solo alla prima domanda: un modo per affermare che \(\displaystyle\widetilde{\mathbb{V}}\) esiste, anzi per costruirlo "esplicitamente", consiste nel considerare le successioni di vettori di \(\displaystyle\mathbb{V}\) che soddisfano la usuale condizione di Cauchy rispetto alla metrica \(\displaystyle d\)!
Gli spazi vettoriali di dimensione infinita sono spesso trattati nei libri di analisi funzionale, seppur esistano libri più avanzati di algebra lineare che ne parlano.
Se il tuo scopo è quello di studiare teoria dei segnali, in questo libro http://fourierandwavelets.org/index.php (seleziona Foundation of Signal Processing) c'è una introduzione ai prerequisiti lineari, anche se fa alcune semplificazioni per evitare di introdurre molte questioni topologiche. Nota che ha un'approccio un po' atipico alla materia. Gli stessi autori hanno anche fatto un libro più semplice (http://www.sp4comm.org/) ma la parte matematica è molto meno sviluppata.
Se il tuo scopo è quello di studiare teoria dei segnali, in questo libro http://fourierandwavelets.org/index.php (seleziona Foundation of Signal Processing) c'è una introduzione ai prerequisiti lineari, anche se fa alcune semplificazioni per evitare di introdurre molte questioni topologiche. Nota che ha un'approccio un po' atipico alla materia. Gli stessi autori hanno anche fatto un libro più semplice (http://www.sp4comm.org/) ma la parte matematica è molto meno sviluppata.
ciao silver general, permettimi di essere antipolemico... ma affermare "...la matematica che si fa qui e' per ingegneri, quindi priva di veri fondamenti e sicurezze" non ti sembra una posizione arrogante!?!!??!
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