Spazi vettoriali dei polinomi
Salve ragazzi,ho problemi con questo esercizio:
sia R2[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due,
e sia f:R2[t]--->R2[t] l'applicazione lineare data da
f(a+bt+c$t^2$)=a+(a+b+c)t+a$t^2$ per ogni a,b,c $in$ $RR$
1)Determinare basi per ker f e img f.
2)Determinare f^-1(1+t+t^2)
Non sò proprio da dove iniziare,che mi consigliate da fare?Mi direste anche i vari passaggi?
Grazie mille
sia R2[t] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a due,
e sia f:R2[t]--->R2[t] l'applicazione lineare data da
f(a+bt+c$t^2$)=a+(a+b+c)t+a$t^2$ per ogni a,b,c $in$ $RR$
1)Determinare basi per ker f e img f.
2)Determinare f^-1(1+t+t^2)
Non sò proprio da dove iniziare,che mi consigliate da fare?Mi direste anche i vari passaggi?
Grazie mille
Risposte
Non farti spaventare dai polinomi, e se al posto di $1$, $t$ e $t^2$ avessi avuto $e_1$, $e_2$, $e_3$ (insomma una base) come ti saresti comportato?
Dall'applicazione,dovrebbe uscire la matrice formata da 3 vettori,o sbaglio?Sarebbe
$((1),(1),(1))$,$((0),(1),(0))$,$((0),(1),(0))$ ma non sn sicuro...help me
Il problema mio è trovare i vettori,poi per ricavare basi e nucleo sono capace.
Non riesco a capire come si fa a trovare f^-1 e cosa rappresenta
$((1),(1),(1))$,$((0),(1),(0))$,$((0),(1),(0))$ ma non sn sicuro...help me
Il problema mio è trovare i vettori,poi per ricavare basi e nucleo sono capace.
Non riesco a capire come si fa a trovare f^-1 e cosa rappresenta
L'applicazione è \((a, b, c) \mapsto (a, a+b+c, a)\). Quindi direi che la matrice è corretta.
La controimmagine è un insieme e coincide con un laterale del dominio (in termini di teoria dei gruppi se l'hai fatta). Quindi se trovi un elemento \(v\) tale che \(f(v) = (1,1,1)\) allora la controimmagine ha la forma \(v+\ker f\). Non dovrebbe essere difficile trovare l'elemento in questione anche senza risolvere il sistema. In genere però è necessario farlo.
La controimmagine è un insieme e coincide con un laterale del dominio (in termini di teoria dei gruppi se l'hai fatta). Quindi se trovi un elemento \(v\) tale che \(f(v) = (1,1,1)\) allora la controimmagine ha la forma \(v+\ker f\). Non dovrebbe essere difficile trovare l'elemento in questione anche senza risolvere il sistema. In genere però è necessario farlo.
Allora dovrei fare : $((1,1,1),(0,1,0),(0,1,0))$ * $((x1),(x2),(x3))$ = $((1),(1),(1))$ poi successivamente trovo il sistema,che posso ridurre a scalini e mi ricavo le soluzioni,che alla fine mi esce in forma parametrica,giusto?
La matrice non dovrebbe essere la sua trasposta? Cioè come avevi scritto prima. Prova a fare i calcoli.
Comunque \((1,0,0)\mapsto (1,1,1)\), quindi siccome \(\ker f = (0,-\lambda,\lambda)\) dovresti ricavare \((1,-\lambda,\lambda)\). Ho usato wolfram per il ker ma tu fai i calcoli.
Tieni comunque conto che dovrai scrivere \(1-at+at^2\) nei risultati.
Comunque \((1,0,0)\mapsto (1,1,1)\), quindi siccome \(\ker f = (0,-\lambda,\lambda)\) dovresti ricavare \((1,-\lambda,\lambda)\). Ho usato wolfram per il ker ma tu fai i calcoli.
Tieni comunque conto che dovrai scrivere \(1-at+at^2\) nei risultati.
Purtroppo non ho la soluzione,quindi non posso confrontare...quindi ci devo mettere la sua trasposta?Sisi,alla fine li devo convertire in un polinomio...
Fai la moltiplicazione e vedi quale dei due è corretta.
Allora nella prima matrice che ho scritto io è uscito il sistema :
$\{(x1 + x2 + x3 = 1),(x2 = 1),(x2 = 1):}$ da cui ho trovato : x2=1 e x1=-x3
una volta trovate le soluzioni che devo fare??
invece come mi dicevi te:
$\{(x1 = 1),(x1 + x2 + x3 = 1),(x1 = 1):}$ da cui ho trovato : x1=1 e x2=-x3 simile a quella sopra
come posso concludere??
$\{(x1 + x2 + x3 = 1),(x2 = 1),(x2 = 1):}$ da cui ho trovato : x2=1 e x1=-x3
una volta trovate le soluzioni che devo fare??
invece come mi dicevi te:
$\{(x1 = 1),(x1 + x2 + x3 = 1),(x1 = 1):}$ da cui ho trovato : x1=1 e x2=-x3 simile a quella sopra
come posso concludere??
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