Spazi vettoriali, basi, equazione cartesiane
Salve a tutti. Stavo provando a svolgere un vecchio esercizio d'esame e sto avendo qualche problema. L'esercizio è il seguente:
Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $CC^4$:
$U = Span{(1,0,0,1),(1,i,2i,-2),(2i,-1,-2,-i)}$ e $V = \{(z_1-iz_2+z_4=0),(z_3+iz_4=0):}$
(i) Determinare una base per entrambi i sottospazi.
(ii) Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U \nn V$
(iii) Determinare la dimensione di $U+V$
Il primo punto dovrei aver fatto tutto bene (non indico i procedimenti tanto ho solo ridotto a scala le matrici e trovato la dimensione dei sottospazi dal rango della matrice ridotta):
$B_U=Span{(1,0,0,1),(1,i,2i,-2)}$ e $B_V = Span{(i,1,0,0),(-1,0,-i,-1)}$
Per il secondo punto pensavo di trovare un insieme di equazioni cartesiane per $U$ e metterle a sistema con quelle di $V$ per poi ridurre a scala la matrice del nuovo sistema, trovare dunque la dimensione di $U \nn V$ e da lì scegliere un numero di equazioni adatto a descrivere il sottospazio.
Per trovare le equazioni cartesiane di $U$ ho provato a ridurre a scala la matrice:
$A = |(1,1,2i,x),(0,i,-1,y),(0,2i,-2,z),(1,-2,-i,w)| \rarr \cdots \rarr |(1,1,2i,x),(0,i,-1,y),(0,0,3i,w+2x),(0,0,0,z-2y)|$
Di solito quando applico tale procedura dovrei arrivare a qualcosa del genere:
$|(0,1,1,z_1),(-1,0,5,z_2),(-1,-5,0,z_3)| \rarr ...\rarr |(-1,0,5,z_2),(0,1,1,z_1),(0,0,1-b^2,z_3-z_2+5z_1)|$
e quindi per esempio otterrei l'equazione $5z_1-z_2+z_3=0$.
Qui invece non sono sicuro se l'equazione $z-2y=0 \-= z_3 -2z_2=0 $ sia quella giusta.
P.S. Il terzo punto non mi interessa più di tanto siccome so già che bisognerà usare il teorema della dimensione dopo aver determinato la dimensione di $U \nn V$ quindi possiamo tranquillamente ignorarlo
Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $CC^4$:
$U = Span{(1,0,0,1),(1,i,2i,-2),(2i,-1,-2,-i)}$ e $V = \{(z_1-iz_2+z_4=0),(z_3+iz_4=0):}$
(i) Determinare una base per entrambi i sottospazi.
(ii) Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U \nn V$
(iii) Determinare la dimensione di $U+V$
Il primo punto dovrei aver fatto tutto bene (non indico i procedimenti tanto ho solo ridotto a scala le matrici e trovato la dimensione dei sottospazi dal rango della matrice ridotta):
$B_U=Span{(1,0,0,1),(1,i,2i,-2)}$ e $B_V = Span{(i,1,0,0),(-1,0,-i,-1)}$
Per il secondo punto pensavo di trovare un insieme di equazioni cartesiane per $U$ e metterle a sistema con quelle di $V$ per poi ridurre a scala la matrice del nuovo sistema, trovare dunque la dimensione di $U \nn V$ e da lì scegliere un numero di equazioni adatto a descrivere il sottospazio.
Per trovare le equazioni cartesiane di $U$ ho provato a ridurre a scala la matrice:
$A = |(1,1,2i,x),(0,i,-1,y),(0,2i,-2,z),(1,-2,-i,w)| \rarr \cdots \rarr |(1,1,2i,x),(0,i,-1,y),(0,0,3i,w+2x),(0,0,0,z-2y)|$
Di solito quando applico tale procedura dovrei arrivare a qualcosa del genere:
$|(0,1,1,z_1),(-1,0,5,z_2),(-1,-5,0,z_3)| \rarr ...\rarr |(-1,0,5,z_2),(0,1,1,z_1),(0,0,1-b^2,z_3-z_2+5z_1)|$
e quindi per esempio otterrei l'equazione $5z_1-z_2+z_3=0$.
Qui invece non sono sicuro se l'equazione $z-2y=0 \-= z_3 -2z_2=0 $ sia quella giusta.
P.S. Il terzo punto non mi interessa più di tanto siccome so già che bisognerà usare il teorema della dimensione dopo aver determinato la dimensione di $U \nn V$ quindi possiamo tranquillamente ignorarlo
Risposte
Per il punto II: il problema del tuo procedimento e' che il testo del problema ti chiede di trovare un insieme minimale di equazioni.
Con il tuo procedimento trovi 2 equazioni per $U$ e 2 equazioni per $V$ e mettendole assieme fanno 4 equazioni ma una di queste e' ridondante.
Adesso vediamo un sistema alternativo.
Sia $U$ che $V$ hanno dimensione 2, quindi sono 2 "piani". In uno spazio a 4 dimensioni non e' scontato che 2 piani abbiano un sottospazio in comune, come invece avviene a 3 dimensioni.
Comunque, sia:
$U = "Span" {v_1, v_2}$
$V = "Span" {v_3, v_4}$
Un vettore del sottospazio $ U \nn V $ deve appartenere sia a $U$ che a $V$.
Un generico vettore di $U$ e'
$\alpha v_1 + \beta v_2$
E un generico vettore di $V$ e'
$\gamma v_3 + \delta v_4$
Quindi un vettore di $ U \nn V $ deve soddisfare
$\alpha v_1 + \beta v_2 = \gamma v_3 + \delta v_4$
ovvero
$\alpha v_1 + \beta v_2 - \gamma v_3 - \delta v_4 = 0$
Ora dobbiamo cercare i coefficienti $\alpha, \beta, \gamma, \delta$
Se tutti i 4 vettori sono linearmente indipendenti, allora l'unica soluzione e' $\alpha= \beta= \gamma= \delta = 0$, quindi la speranza e' che i vettori non siano linearmente indipendenti.
In forma matriciale, l'equazione sopra diventa:
$( ( v_1 , v_2, v_3, v_4 ) ) ( ( \alpha ),( \beta ),( \gamma ),( \delta ) ) = 0$
ovvero la soluzione e' il kernel di $( ( v_1 , v_2, v_3, v_4 ) )$
Un volta trovata la soluzione, lo span di $ U \nn V $ sara' ad es. $\alpha v_1 + \beta v_2$ che sara' un vettore che scriviamo cosi:
$ ((a, b, c, d)) $
Siamo arrivati alla fine, e possiamo scrivere il sistema minimale di equazioni come:
$ \{(z_1/a=z_4/d),(z_2/b = z_4/d),(z_3/c = z_4/d):} $
Come vedi sono solo 3 equazioni e non 4, e questo lo rende il sistema minimale.
Svolgendo i calcoli con un tool di calcolo si imposta
$A = ( ( v_1 , v_2, v_3, v_4 ) ) $
e poi si cerca il kernel
Risulta che $\alpha = 0$ e quindi $ U \nn V = "Span" (v_2)$
con $v_2 = {(1,i,2i,-2)}$ .
Quindi il sistema diventa:
$ \{(z_1=z_4/-2),(z_2/i = z_4/-2),(z_3/(2i) = z_4/-2):} $
Con il tuo procedimento trovi 2 equazioni per $U$ e 2 equazioni per $V$ e mettendole assieme fanno 4 equazioni ma una di queste e' ridondante.
Adesso vediamo un sistema alternativo.
Sia $U$ che $V$ hanno dimensione 2, quindi sono 2 "piani". In uno spazio a 4 dimensioni non e' scontato che 2 piani abbiano un sottospazio in comune, come invece avviene a 3 dimensioni.
Comunque, sia:
$U = "Span" {v_1, v_2}$
$V = "Span" {v_3, v_4}$
Un vettore del sottospazio $ U \nn V $ deve appartenere sia a $U$ che a $V$.
Un generico vettore di $U$ e'
$\alpha v_1 + \beta v_2$
E un generico vettore di $V$ e'
$\gamma v_3 + \delta v_4$
Quindi un vettore di $ U \nn V $ deve soddisfare
$\alpha v_1 + \beta v_2 = \gamma v_3 + \delta v_4$
ovvero
$\alpha v_1 + \beta v_2 - \gamma v_3 - \delta v_4 = 0$
Ora dobbiamo cercare i coefficienti $\alpha, \beta, \gamma, \delta$
Se tutti i 4 vettori sono linearmente indipendenti, allora l'unica soluzione e' $\alpha= \beta= \gamma= \delta = 0$, quindi la speranza e' che i vettori non siano linearmente indipendenti.
In forma matriciale, l'equazione sopra diventa:
$( ( v_1 , v_2, v_3, v_4 ) ) ( ( \alpha ),( \beta ),( \gamma ),( \delta ) ) = 0$
ovvero la soluzione e' il kernel di $( ( v_1 , v_2, v_3, v_4 ) )$
Un volta trovata la soluzione, lo span di $ U \nn V $ sara' ad es. $\alpha v_1 + \beta v_2$ che sara' un vettore che scriviamo cosi:
$ ((a, b, c, d)) $
Siamo arrivati alla fine, e possiamo scrivere il sistema minimale di equazioni come:
$ \{(z_1/a=z_4/d),(z_2/b = z_4/d),(z_3/c = z_4/d):} $
Come vedi sono solo 3 equazioni e non 4, e questo lo rende il sistema minimale.
Svolgendo i calcoli con un tool di calcolo si imposta
$A = ( ( v_1 , v_2, v_3, v_4 ) ) $
A = 1 + 0i 1 + 0i 0 + 1i 0 - 1i 0 + 0i 0 + 1i 1 + 0i 0 + 0i 0 + 0i 0 - 2i 0 + 0i -1 + 0i -1 + 0i 2 + 0i 0 + 0i 0 - 1i
e poi si cerca il kernel
null(A)
ans =
0 + 0i
0.3669 + 0.1791i
0.1791 - 0.3669i
0.3581 - 0.7338i
Risulta che $\alpha = 0$ e quindi $ U \nn V = "Span" (v_2)$
con $v_2 = {(1,i,2i,-2)}$ .
Quindi il sistema diventa:
$ \{(z_1=z_4/-2),(z_2/i = z_4/-2),(z_3/(2i) = z_4/-2):} $
Grazie Quinzio per la soluzione. Ci sarei potuto arrivare da solo stavolta ragionando un po' di più su cosa significa appartenere all'intersezione di due sottospazi...Purtroppo ho la tendenza ad applicare procedimenti "conosciuti" senza pensare troppo alla domanda o ad una soluzione adatta.
Ho solo un dubbio:
Come hai ottenuto questo sistema?
Io ho fatto come dici però ho ottenuto, da $\alpha v_1+\beta v_2-\gamma v_3 - \delta v_4=0$, per i 4 valori di $\alpha, \beta, \gamma, \delta$:
$\{(\alpha=0),(\beta=-1/2 \delta),(\gamma= -i/2 \delta),(\delta=\delta):} \rarr \{(\alpha=0),(\beta=-1/2t),(\gamma= -i/2 t),(\delta=t):}$
Ovvero infinite soluzioni dipendenti da un parametro libero. Scegliendo $t=-2$ ottengo per esempio:
$\alpha=0, \beta=1 \rarr \alpha v_1+ \beta v_2 = v_2$ come hai detto tu. Quindi $dim(U \nn V) = 1, B_{U \nn V} = Span{v2}$
P.S. Ho aggiustato la base di $V$ in cui il secondo vettore era sbagliato. Possiate perdonare l'errore visto che ieri sera era abbastanza tardi
Ho solo un dubbio:
Siamo arrivati alla fine, e possiamo scrivere il sistema minimale di equazioni come: $\{(z_1/a=z_4/d),(z_2/b=z_4/d),(z_1/a = z_4/d):}$
Come hai ottenuto questo sistema?
Io ho fatto come dici però ho ottenuto, da $\alpha v_1+\beta v_2-\gamma v_3 - \delta v_4=0$, per i 4 valori di $\alpha, \beta, \gamma, \delta$:
$\{(\alpha=0),(\beta=-1/2 \delta),(\gamma= -i/2 \delta),(\delta=\delta):} \rarr \{(\alpha=0),(\beta=-1/2t),(\gamma= -i/2 t),(\delta=t):}$
Ovvero infinite soluzioni dipendenti da un parametro libero. Scegliendo $t=-2$ ottengo per esempio:
$\alpha=0, \beta=1 \rarr \alpha v_1+ \beta v_2 = v_2$ come hai detto tu. Quindi $dim(U \nn V) = 1, B_{U \nn V} = Span{v2}$
P.S. Ho aggiustato la base di $V$ in cui il secondo vettore era sbagliato. Possiate perdonare l'errore visto che ieri sera era abbastanza tardi
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