Spazi vettoriali, Basi, dipendenza lineare di vettori
1) Che differenza c'è tra una base,$ B(v_1 ... v_n) $, e un sistema di generatori $L(v_1...v_n)$ o $Span(v_1...v_n)$?
2) Una base è anche uno spazio vettoriale? (Dovrebbe essere No, perchè una base contiene vettori Linearm Indip cioè la somma di due vettori NON da' un vettore che ricade nella base, giusto?)
3) Qual è il SIGNIFICATO GEOMETRICO della dipendeza lineare per vettori di $V^2$ (piano dei vettori geometrici liberi non applicati a uno specifico punto)?
4) Come si giustifica la biezione tra $V^2$ e $RR^2$?
Potete brevemente spiegarmi le suddette domande di algebra lineare?
Grazie.
Ciao ciao.
2) Una base è anche uno spazio vettoriale? (Dovrebbe essere No, perchè una base contiene vettori Linearm Indip cioè la somma di due vettori NON da' un vettore che ricade nella base, giusto?)
3) Qual è il SIGNIFICATO GEOMETRICO della dipendeza lineare per vettori di $V^2$ (piano dei vettori geometrici liberi non applicati a uno specifico punto)?
4) Come si giustifica la biezione tra $V^2$ e $RR^2$?
Potete brevemente spiegarmi le suddette domande di algebra lineare?
Grazie.
Ciao ciao.
Risposte
Se $V$ è uno spazio vettoriale, sia una base di $V$ che un insieme di generatori di $V$ genera lo spazio vettoriale $V$. Solo che una base è un insieme indipendente (è massimale rispetto alla proprietà di essere indipendente e minimale rispetto alla proprietà del generare), un insieme di generatori invece non è detto che sia indipendente.
Ad esempio, considera lo spazio vettoriale $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x = y\}$.
Una base è $\{(1,1)\}$, o in generale, per ogni $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, l'insieme $\{(\alpha, \alpha)\}$. Un insieme di generatori invece può essere anche l'insieme $\{(1,1), (2,2)\}$, che non è assolutamente indipendente.
Ad esempio, considera lo spazio vettoriale $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x = y\}$.
Una base è $\{(1,1)\}$, o in generale, per ogni $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, l'insieme $\{(\alpha, \alpha)\}$. Un insieme di generatori invece può essere anche l'insieme $\{(1,1), (2,2)\}$, che non è assolutamente indipendente.
Una base non può essere uno spazio vettoriale se non altro perché non può contenere il vettore nullo.
Sinceramente ho capito poco le domande 3) e 4)... Chi è $V$? Suppongo che $V^2 = V \times V$.
A dire il vero, non l'ho capito bene neanche io.
Te lo leggo dal libro, va bene?
"Indichiamo con $V^2$ l'insieme dei vettori liberi del piano...".
Da un'altra parte si legge
"$V^2$ ...diviene uno spazio vettoriale reale detto spazio dei vettori geometrici liberi del piano ".
"Un vettore geometrico libero (secondo il mio libro) è dunque in realtà costituito da infiniti segmenti orientati equipollenti ad $vec (AB)$"
Non so se è quello che intendevi tu. Bho!
Te lo leggo dal libro, va bene?
"Indichiamo con $V^2$ l'insieme dei vettori liberi del piano...".
Da un'altra parte si legge
"$V^2$ ...diviene uno spazio vettoriale reale detto spazio dei vettori geometrici liberi del piano ".
"Un vettore geometrico libero (secondo il mio libro) è dunque in realtà costituito da infiniti segmenti orientati equipollenti ad $vec (AB)$"
Non so se è quello che intendevi tu. Bho!
Credo di poter riguardare il libro per la domanda n° 4)
ma non so come sbloccarmi al punto 3)...
4) Come si giustifica la biezione tra $V^2$ e $RR^2$ ?
ma non so come sbloccarmi al punto 3)...
Ciao a tutti.
Sto cercando un aiuto per alcuni chiarimenti per spazi vettoriali e insiemi di generatori.
Il mio dubbio è questo.](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
In un esercizio del libro mi viene chiesto di dire se i vettori v1 v2 v3 costituiscono una base di R^3 (R cubo). In caso negativo si descriva il sottospazio da essi generato.
v1=(1,2,3)
v2=(3,0,-1)
v3=(1,8,13)
Dopo aver fatto vari calcoli riesco a dimostrare che essi sono linearmente dipendenti.
Ma essendo linearmente dipendenti essi possono comunque essere dei generatori di spazi vettoriali?? non mi sembra...
Quindi come rispondo alla domanda di descrivere lo spazio che essi generano?? Devo eliminarne uno??
Grazie mille dell'aiuto!!!
Sto cercando un aiuto per alcuni chiarimenti per spazi vettoriali e insiemi di generatori.
Il mio dubbio è questo.
In un esercizio del libro mi viene chiesto di dire se i vettori v1 v2 v3 costituiscono una base di R^3 (R cubo). In caso negativo si descriva il sottospazio da essi generato.
v1=(1,2,3)
v2=(3,0,-1)
v3=(1,8,13)
Dopo aver fatto vari calcoli riesco a dimostrare che essi sono linearmente dipendenti.
Ma essendo linearmente dipendenti essi possono comunque essere dei generatori di spazi vettoriali?? non mi sembra...
Quindi come rispondo alla domanda di descrivere lo spazio che essi generano?? Devo eliminarne uno??
Grazie mille dell'aiuto!!!
Dato uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), \(\displaystyle n \) vettori linearmente indipendenti appartenenti a quello spazio formano una base - questo è uno dei teoremi fondamentali dell'algebra lineare.
Nel tuo caso si nota che \(\displaystyle 4v_{1} - v_{2}=v_{3} \), il che significa, come hai già osservato tu, che i tre vettori non sono indipendenti. Scelta una coppia di vettori indipendente tra quei tre, essa genererà un sottospazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) di cui dovresti forse dare una caratterizzazione parametrica e/o cartesiana.
Nel tuo caso si nota che \(\displaystyle 4v_{1} - v_{2}=v_{3} \), il che significa, come hai già osservato tu, che i tre vettori non sono indipendenti. Scelta una coppia di vettori indipendente tra quei tre, essa genererà un sottospazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) di cui dovresti forse dare una caratterizzazione parametrica e/o cartesiana.
Ok..
Ma allora non ha alcun senso dire che tutti e tre i vettori generano uno spazio giusto?
proprio perchè essi non sono indipendenti tra loro...mi sbaglio o fin qui il ragionamento è corretto?
Ma allora non ha alcun senso dire che tutti e tre i vettori generano uno spazio giusto?
proprio perchè essi non sono indipendenti tra loro...mi sbaglio o fin qui il ragionamento è corretto?
E' corretto.
Spero di non confondere le idee, ma questo
è sbagliato. Qualsiasi insieme di vettori genera un sottospazio vettoriale, basta prendere l'insieme di tutte le combinazioni lineari che si possono formare con essi. Il guaio è che, se i vettori dati NON sono indipendenti, essi formeranno solo un sistema di generatori e non una base del sottospazio, e questo è spiacevole. A noi piacciono le basi, non i sistemi di generatori.
"FedeComa":
Ok..
Ma allora non ha alcun senso dire che tutti e tre i vettori generano uno spazio giusto?
è sbagliato. Qualsiasi insieme di vettori genera un sottospazio vettoriale, basta prendere l'insieme di tutte le combinazioni lineari che si possono formare con essi. Il guaio è che, se i vettori dati NON sono indipendenti, essi formeranno solo un sistema di generatori e non una base del sottospazio, e questo è spiacevole. A noi piacciono le basi, non i sistemi di generatori.
Ma allora quando mi viene chiesto di verificare se un insieme di vettori è una base di uno spazio vettoriale io devo semplicemente verificare che essi siano linearmente indipendenti? solo questo?
In effetti, FedeComa, quello che dice dissonance è assolutamente vero (e figuriamoci se concedo a me medesimo di criticarne l'operato 
). Io mi sono permesso di non farti notare - forse erroneamente - questo fatto in quanto ho ritenuto una siffatta osservazione irrilevante ai fini dell'esercizio. Affermare che quei tre vettori non generano lo spazio \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \) è corretto in quanto non sono linearmente indipendenti, mentre affermare che non generano alcuno spazio è falso: ogni n-upla di vettori può generare un sottospazio - ma nel tuo caso i vettori a disposizione non sono in grado di saturare tutto \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \).
Comunque, dato uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \) su un corpo, \(\displaystyle n \) vettori linearmente indipendenti formano una base di tale spazio, e pertanto lo generano.
). Io mi sono permesso di non farti notare - forse erroneamente - questo fatto in quanto ho ritenuto una siffatta osservazione irrilevante ai fini dell'esercizio. Affermare che quei tre vettori non generano lo spazio \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \) è corretto in quanto non sono linearmente indipendenti, mentre affermare che non generano alcuno spazio è falso: ogni n-upla di vettori può generare un sottospazio - ma nel tuo caso i vettori a disposizione non sono in grado di saturare tutto \(\displaystyle \mathbb{R^{3}} \).Comunque, dato uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \) su un corpo, \(\displaystyle n \) vettori linearmente indipendenti formano una base di tale spazio, e pertanto lo generano.
"Delirium":Figuriamoci!
e figuriamoci se concedo a me medesimo di criticarne l'operato
Neanche 24 ore fa ne sparavo una bella grossa proprio in un tuo thread: sulla-derivabilita-t93261.htmlMa allora quando mi viene chiesto di verificare se un insieme di vettori è una base di uno spazio vettoriale io devo semplicemente verificare che essi siano linearmente indipendenti? solo questo?Ma no, scusa: per definizione una base è contemporaneamente un sistema di generatori e tutti i suoi vettori sono linearmente indipendenti. Quindi devi verificare queste due cose. Esistono allo scopo dei teoremi che ti semplificano la vita, e per tutte le informazioni teoriche ti rimando all'ottimo "Algebra lineare for dummies" di Sergio che ti esorto vivamente a leggere:
algebra-lineare-for-dummies-t45434.html
Grazie! utilissimo! molto gentile! ciao!!
Però, dissonance, a questo punto faccio una nota ( 
): la domanda di FedeCapo non è del tutto mal posta, e a mio avviso la risposta è invece parzialmente affermativa, a patto che si sia coscienti degli importanti teoremi cui tu fai riferimento.
P.e. cito da pag. 32, Lemma 2.2.16., Algebra lineare e primi elementi di Geometria di M. Candilera e A. Bertapelle:
Ma allora, dati \(\displaystyle n \) elementi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), essi sono automaticamente una base e quindi dei generatori. Non serve verificare quest'ultima peculiarità, in quanto una base, per definizione, è formata da generatori linearmente indipendenti. Dico male?
): la domanda di FedeCapo non è del tutto mal posta, e a mio avviso la risposta è invece parzialmente affermativa, a patto che si sia coscienti degli importanti teoremi cui tu fai riferimento. P.e. cito da pag. 32, Lemma 2.2.16., Algebra lineare e primi elementi di Geometria di M. Candilera e A. Bertapelle:
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale su \(\displaystyle C \) di dimensione \(\displaystyle n>0 \). Allora:
(i) Ogni insieme di generatori per \(\displaystyle V \) formato da \(\displaystyle n \) vettori è una base di \(\displaystyle V \).
(ii) Ogni sottoinsieme di \(\displaystyle V \) formato da \(\displaystyle n \) vettori linearmente indipendenti è una base di \(\displaystyle V \).
[...]
Ma allora, dati \(\displaystyle n \) elementi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), essi sono automaticamente una base e quindi dei generatori. Non serve verificare quest'ultima peculiarità, in quanto una base, per definizione, è formata da generatori linearmente indipendenti. Dico male?
"Delirium":
Ma allora, dati \(\displaystyle n \) elementi linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), essi sono automaticamente una base e quindi dei generatori. Non serve verificare quest'ultima peculiarità, in quanto una base, per definizione, è formata da generatori linearmente indipendenti. Dico male?
Affatto, è giustissimo.
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