Spazi Vettoriali

[Lionel2]

Salve, ho capito che se voglio imparare per bene questa parte devo cominciare dall'inzio e purtroppo devo scocciarvi. Abbiate solo un po' di pazienza con me. Grazie. Ora vi scrivo cosa sto imparando oggi e cosa non ho capito.

Spazio Vettoriale Definizione
Si dice spazio vettoriale (o più raramente chiamato spazio lineare) la struttura algebrica

$(V, K, +, *)$,

dove $V$ è un insieme i cui elementi si dicono vettori, $K$ viene detto corpo e può essere o l'insieme dei numeri Reali $RR$ o l'insieme dei numeri complessi $CC$, e le operazioni:

$+: V+V => V$ operazione interna (somma),
$XX: VxxV => V$ operazione esterna (prodotto per uno scalare).

Per lo spazio vettoriale valgono i seguenti assiomi:

1. $AA x,y in V => \bar(x)+\bar(y) in V$
2. $AA lambda in K$ e $AA \bar(x) in V => lambda\bar(x) in V$

Queste due proprietà sono dette di chiusura, nel senso che l'oggetto appartiene ancora a $V$

3. $\bar(x) + \bar(y) = \bar(y) + \bar(x)$ proprietà commutativa della somma
4. $lambda*\bar(x) = \bar(x)*lambda$ proprietà commutativa del prodotto
5. $\bar(x) + (\bar(y) + \bar(z)) = (\bar(x) + \bar(y)) + \bar(z)$ proprietà associativa della somma
6. $EE \bar(0) in V: AA \bar(x) in V \bar(x) + \bar(0) = \bar(x)$ esistenza dello zero
7. $alpha(beta \bar(x)) = (alpha beta) \bar(x)$ con $alpha, beta in K$ e $\bar(x) in V$ proprietà associativa del prodotto per uno scatale
8. $alpha(\bar(x)+\bar(y)) = alpha\bar(x) + alpha\bar(y)$ proprietà distributiva del prodotto per uno scalare
9. $(alpha + beta)\bar(z) = alpha\bar(z)+beta\bar(z)$ proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto
10. $1\bar(x) = \bar(x)$ esistenza dell'elemento unitario per il corpo $K$

Per il momento mi fermo quì. Dunque se ho capito il corpo K può essere o $K = RR$ o $K=CC$ dunque si potrebbe esistere una struttura algebrica di questo tipo $(RR^2, RR, +, *)$, ho capito bene? Ma effettivamente cosa rappresenta un corpo? E quindi in questo caso $RR^2$ sarebbe uno spazio vettoriale o tutta la struttura è uno spazio vettoriale? Ma una struttura algebrica di questo tipo da cosa potrebbe essere data? un esempio mi serve per poter capire ulteriormente.

Grazie.

[Lionel2]

Tutti gli spazi che si ottengono considerando oggetti di $n$ componenti sono spazi in $RR^N$ oppure in $CC^N$ (ovvero n-ple ordinate di numeri reali-complessi sul corpo di numeri reali-complessi).
Spazi vettoriali di questo tipo sono a dimensione finita.

Tutto ciò che scrivo e vi pubblico non è una semplice copia, è qualcosa che io riscrivo o comunque cerco di riscriverla semplificandola e per essere più chiara per me.

[Zkeggia]

consiglio le dispense di Sergio, sono ben fatte e chiare, le trovi in alto in questa sezione!

[gugo82]

Un corpo [tex]$\mathbb{K}$[/tex] è semplicemente una struttura algebrica con due operazioni interne (una somma ed un prodotto) aventi le proprietà cui sei abituato dalle scuole elementari: la somma è associativa, commutativa, ha l'elemento neutro (detto [tex]$0$[/tex]) ed ogni elemento [tex]$x\in \mathbb{K}$[/tex] ha un opposto (denotato [tex]$-x$[/tex]); il prodotto è associativo (ma in generale non commutativo), ha l'elemento neutro ed ogni elemento [tex]$x\in \mathbb{K} \setminus \{ 0\}$[/tex] ha un reciproco (denotato [tex]$x^{-1}$[/tex] oppure [tex]$\tfrac{1}{x}$[/tex]); inoltre il prodotto è distributivo rispetto alla somma.

Se il prodotto di [tex]$\mathbb{K}$[/tex] è commutativo, allora al posto di corpo si usa dire campo.

Ad esempio, [tex]$\mathbb{Q} ,\mathbb{R} ,\mathbb{C}$[/tex] sono corpi con le usuali operazioni di somma e prodotto; per la precisione, visto che il prodotto è in tutti e tre i casi commutativo, essi sono campi.

Esistono corpi che non sono campi (ossia corpi che hanno prodotto non commutativo), epperò se sei ingegnere non li incontrerai mai.