Spazi Vettoriali

Lionel2
Salve, ho capito che se voglio imparare per bene questa parte devo cominciare dall'inzio e purtroppo devo scocciarvi. Abbiate solo un po' di pazienza con me. Grazie. Ora vi scrivo cosa sto imparando oggi e cosa non ho capito.

Spazio Vettoriale Definizione
Si dice spazio vettoriale (o più raramente chiamato spazio lineare) la struttura algebrica

$(V, K, +, *)$,

dove $V$ è un insieme i cui elementi si dicono vettori, $K$ viene detto corpo e può essere o l'insieme dei numeri Reali $RR$ o l'insieme dei numeri complessi $CC$, e le operazioni:

$+: V+V => V$ operazione interna (somma),
$XX: VxxV => V$ operazione esterna (prodotto per uno scalare).

Per lo spazio vettoriale valgono i seguenti assiomi:

1. $AA x,y in V => \bar(x)+\bar(y) in V$
2. $AA lambda in K$ e $AA \bar(x) in V => lambda\bar(x) in V$

Queste due proprietà sono dette di chiusura, nel senso che l'oggetto appartiene ancora a $V$

3. $\bar(x) + \bar(y) = \bar(y) + \bar(x)$ proprietà commutativa della somma
4. $lambda*\bar(x) = \bar(x)*lambda$ proprietà commutativa del prodotto
5. $\bar(x) + (\bar(y) + \bar(z)) = (\bar(x) + \bar(y)) + \bar(z)$ proprietà associativa della somma
6. $EE \bar(0) in V: AA \bar(x) in V \bar(x) + \bar(0) = \bar(x)$ esistenza dello zero
7. $alpha(beta \bar(x)) = (alpha beta) \bar(x)$ con $alpha, beta in K$ e $\bar(x) in V$ proprietà associativa del prodotto per uno scatale
8. $alpha(\bar(x)+\bar(y)) = alpha\bar(x) + alpha\bar(y)$ proprietà distributiva del prodotto per uno scalare
9. $(alpha + beta)\bar(z) = alpha\bar(z)+beta\bar(z)$ proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto
10. $1\bar(x) = \bar(x)$ esistenza dell'elemento unitario per il corpo $K$

Per il momento mi fermo quì. Dunque se ho capito il corpo K può essere o $K = RR$ o $K=CC$ dunque si potrebbe esistere una struttura algebrica di questo tipo $(RR^2, RR, +, *)$, ho capito bene? Ma effettivamente cosa rappresenta un corpo? E quindi in questo caso $RR^2$ sarebbe uno spazio vettoriale o tutta la struttura è uno spazio vettoriale? Ma una struttura algebrica di questo tipo da cosa potrebbe essere data? un esempio mi serve per poter capire ulteriormente.

Grazie.

Risposte
Lionel2
Tutti gli spazi che si ottengono considerando oggetti di $n$ componenti sono spazi in $RR^N$ oppure in $CC^N$ (ovvero n-ple ordinate di numeri reali-complessi sul corpo di numeri reali-complessi).
Spazi vettoriali di questo tipo sono a dimensione finita.

Tutto ciò che scrivo e vi pubblico non è una semplice copia, è qualcosa che io riscrivo o comunque cerco di riscriverla semplificandola e per essere più chiara per me. :(

Zkeggia
consiglio le dispense di Sergio, sono ben fatte e chiare, le trovi in alto in questa sezione!

gugo82
Un corpo [tex]$\mathbb{K}$[/tex] è semplicemente una struttura algebrica con due operazioni interne (una somma ed un prodotto) aventi le proprietà cui sei abituato dalle scuole elementari: la somma è associativa, commutativa, ha l'elemento neutro (detto [tex]$0$[/tex]) ed ogni elemento [tex]$x\in \mathbb{K}$[/tex] ha un opposto (denotato [tex]$-x$[/tex]); il prodotto è associativo (ma in generale non commutativo), ha l'elemento neutro ed ogni elemento [tex]$x\in \mathbb{K} \setminus \{ 0\}$[/tex] ha un reciproco (denotato [tex]$x^{-1}$[/tex] oppure [tex]$\tfrac{1}{x}$[/tex]); inoltre il prodotto è distributivo rispetto alla somma.

Se il prodotto di [tex]$\mathbb{K}$[/tex] è commutativo, allora al posto di corpo si usa dire campo.

Ad esempio, [tex]$\mathbb{Q} ,\mathbb{R} ,\mathbb{C}$[/tex] sono corpi con le usuali operazioni di somma e prodotto; per la precisione, visto che il prodotto è in tutti e tre i casi commutativo, essi sono campi.

Esistono corpi che non sono campi (ossia corpi che hanno prodotto non commutativo), epperò se sei ingegnere non li incontrerai mai. :-D

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