Spazi vettoriali
Buonasera a tutti!
Ho il seguente esercizio.
Quali dei seguenti sottoinsiemi di $RR^3$ sono spazi vettoriali su $R$ rispetto alle operazioni definite in $RR^3$?
$X_1={(x;y;z) in RR^3 : x+y+z=0}$, $X_1={(x;y;z) in RR^3 : x+y=1}$, $X_3={(x;y;z) in RR^3 : y=0}$, $X_1uuX_3$, $X_1nnX_3$.
Se non sbaglio sia $X_1$, che $X_2$ ed $X_3$ sono spazi vettoriali su $RR$. Mi sorge qualche dubbio relativamete agli insiemi definiti rispettivamente come unione ed intersezione di $X_1$ ed $X_3$. In particolare:
1) Non ho ben chiaro come posso verificare se $X_1uuX_3$ è (o non è) uno spazio vettoriale;
2) Vorrei sapere se è corretto scrivere: $X_1nnX_3={(x;y;z) in RR^3 : x+z=0}$. In tal caso mi sembra che anche questo sia uno spazio vettoriale.
Attendo delle delucidazioni e/o correzioni. Grazie!
Andrea
Ho il seguente esercizio.
Quali dei seguenti sottoinsiemi di $RR^3$ sono spazi vettoriali su $R$ rispetto alle operazioni definite in $RR^3$?
$X_1={(x;y;z) in RR^3 : x+y+z=0}$, $X_1={(x;y;z) in RR^3 : x+y=1}$, $X_3={(x;y;z) in RR^3 : y=0}$, $X_1uuX_3$, $X_1nnX_3$.
Se non sbaglio sia $X_1$, che $X_2$ ed $X_3$ sono spazi vettoriali su $RR$. Mi sorge qualche dubbio relativamete agli insiemi definiti rispettivamente come unione ed intersezione di $X_1$ ed $X_3$. In particolare:
1) Non ho ben chiaro come posso verificare se $X_1uuX_3$ è (o non è) uno spazio vettoriale;
2) Vorrei sapere se è corretto scrivere: $X_1nnX_3={(x;y;z) in RR^3 : x+z=0}$. In tal caso mi sembra che anche questo sia uno spazio vettoriale.
Attendo delle delucidazioni e/o correzioni. Grazie!
Andrea
Risposte
Ciao. Tenendo conto che $RR^3$ è uno spazio vettoriale, ti basta verificare se $X_1$, $X_2$, $X_3$ sono sottospazi vettoriali di $RR^3$.
Presi $u$, $v$ $inX_1$, $lambdainRR$, deve aversi:
$f(u)+f(v) in X_1$
$lambda*f(u)inX_1$
Comunque risulta che $X_1$ e $X_3$ sono spazi vettoriali, mentre $X_2$ non lo è.
Per le altre due domande tieni presente che:
1) L'intersezione di due sottospazi vettoriali è sempre uno spazio vettoriale.
2) L'unione di due sottospazi vettoriali è uno spazio vettoriale, se e solo se uno dei due sottospazi è contenuto nell'altro.
Ora:
$(1,-1,0)inX_1$ ma $(1,-1,0)notinX_3$
$(1,0,2)inX_3$ ma $(1,0,2)notinX_1$
Quindi $ X_1 uu X_3$ non è uno spazio vettoriale.
Presi $u$, $v$ $inX_1$, $lambdainRR$, deve aversi:
$f(u)+f(v) in X_1$
$lambda*f(u)inX_1$
Comunque risulta che $X_1$ e $X_3$ sono spazi vettoriali, mentre $X_2$ non lo è.
Per le altre due domande tieni presente che:
1) L'intersezione di due sottospazi vettoriali è sempre uno spazio vettoriale.
2) L'unione di due sottospazi vettoriali è uno spazio vettoriale, se e solo se uno dei due sottospazi è contenuto nell'altro.
Ora:
$(1,-1,0)inX_1$ ma $(1,-1,0)notinX_3$
$(1,0,2)inX_3$ ma $(1,0,2)notinX_1$
Quindi $ X_1 uu X_3$ non è uno spazio vettoriale.
ll problema è che devo risolvere l'esercizio senza ricorrere ai sottospazi vettoriali in quanto ancora non sono stati affrontati...
Allora non resta che rimboccarsi le maniche e partire dalla definizione! (tutte le varie proprietà che caratterizzano uno SV).
$X_1$ e $X_3$ come hai già detto lo sono, $X_2$ no in quanto non è chiuso rispetto alla somma. Infatti cosa strettamente necessaria perchè un insieme $V$ sia uno spazio vettoriale è che, dati $v_1, v_2 \in V \rarr v_1 + v_2 \in V$ e $X_2$ chiaramente non lo verifica.
Ti basta quindi prendere un controesempio, per esempio $v_1 = (1, 0, 0)$ e $v_2 = (0, 1, 0)$ per dimostrare che $X_2$ non è uno spazio vettoriale.
Sempre con un controesempio dello stesso tipo, puoi cercare di dimostrare che nemmeno $X_1 uu X_3$ è uno spazio vettoriale
$X_1$ e $X_3$ come hai già detto lo sono, $X_2$ no in quanto non è chiuso rispetto alla somma. Infatti cosa strettamente necessaria perchè un insieme $V$ sia uno spazio vettoriale è che, dati $v_1, v_2 \in V \rarr v_1 + v_2 \in V$ e $X_2$ chiaramente non lo verifica.
Ti basta quindi prendere un controesempio, per esempio $v_1 = (1, 0, 0)$ e $v_2 = (0, 1, 0)$ per dimostrare che $X_2$ non è uno spazio vettoriale.
Sempre con un controesempio dello stesso tipo, puoi cercare di dimostrare che nemmeno $X_1 uu X_3$ è uno spazio vettoriale
Bene... Ora mi so muovere! Il problema è definire $X_1uuX_3$... come devo comportarmi?
Allora credo che ci devi andare dalla definizione con le 8 proprietà.
Alcune sono ovvie, tipo la commutativa, l'associativa, la moltiplicazione per 1...
Quello che di fatto devi controllare davvero è che:
-la somma di due vettori di $X_1$ è ancora un vettore di $X_1$
-il vettore nullo appartiene a $X_1$
-dato un vettore di $X_1$, il suo opposto appartiene a $X_1$
-il prodotto di uno scalare per un vettore di $X_1$ è un vettore appartenente a $X_1$
$X_2$ non è spazio vettoriale perchè, per esempio:
$(1,0,0)inX_2$ ma $2*(1,0,0)=(2,0,0)notinX_2$ in disaccordo con la quarta proprietà che ho scritto.
$X_1$ e $X_3$ invece verificano tutte le proprietà richieste, quindi sono spazi vettoriali.
$X_1 nn X_3 ={(x;y;z)inRR^3: x+z=0, y=0}$ risulterà pure uno spazio vettoriale.
$X_1 uu X_3 ={(x:y;z)inRR^3: x+y+z=0 e|o y=0}$ non è uno spazio vettoriale perchè, ad esempio:
$(1,1,-2)inX_1 uu X_3$ $(1,0,0)inX_1 uu X_3$, ma $(1,1,-2)+(1,0,0)=(2,1,-2)notinX_1 uu X_3$
Alcune sono ovvie, tipo la commutativa, l'associativa, la moltiplicazione per 1...
Quello che di fatto devi controllare davvero è che:
-la somma di due vettori di $X_1$ è ancora un vettore di $X_1$
-il vettore nullo appartiene a $X_1$
-dato un vettore di $X_1$, il suo opposto appartiene a $X_1$
-il prodotto di uno scalare per un vettore di $X_1$ è un vettore appartenente a $X_1$
$X_2$ non è spazio vettoriale perchè, per esempio:
$(1,0,0)inX_2$ ma $2*(1,0,0)=(2,0,0)notinX_2$ in disaccordo con la quarta proprietà che ho scritto.
$X_1$ e $X_3$ invece verificano tutte le proprietà richieste, quindi sono spazi vettoriali.
$X_1 nn X_3 ={(x;y;z)inRR^3: x+z=0, y=0}$ risulterà pure uno spazio vettoriale.
$X_1 uu X_3 ={(x:y;z)inRR^3: x+y+z=0 e|o y=0}$ non è uno spazio vettoriale perchè, ad esempio:
$(1,1,-2)inX_1 uu X_3$ $(1,0,0)inX_1 uu X_3$, ma $(1,1,-2)+(1,0,0)=(2,1,-2)notinX_1 uu X_3$
Due domande:
1) Perchè per $X_1uuX_3$ hai eseguito la somma?
2) Per $X_1nnX_3$ è bastato osservare che sia $X_1$ he $X_3$ sono spazi vettoriali?
1) Perchè per $X_1uuX_3$ hai eseguito la somma?
2) Per $X_1nnX_3$ è bastato osservare che sia $X_1$ he $X_3$ sono spazi vettoriali?
1) Sopra ho elencato le proprietà da verificare. Tra queste c'è che la somma di due vettori di $X_1 uu X_3$ deve essere un vettore di $X_1 uu X_3$; io ho mostrato con un controesempio che questa regola non è rispettata.
2) Dire che si tratta di un'intersezione tra due spazi vettoriali è sufficiente, però se non lo hai ancora studiato, devi procedere come per $ X_1$ ed $X_3$, verificando tutte le proprietà della definizione. Considerato che alcune regole valgono sempre, ti puoi limitare a controllare i 4 punti che ho riportato. Ecco come:
Si osserva che un generico vettore di $X_1 nn X_3$ è del tipo $(a, 0, -a)$ con $ainRR$ qualsiasi.
$(a, 0, -a) + (b, 0, -b)= (a+b, 0, -(a+b))in X_1 nn X_3$ ... primo punto ok
$(0,0,0) in X_1 nn X_3$ infatti.... secondo punto ok
Dato $(a, 0, -a)$, il suo opposto $(-a, 0, a)=(b, 0, -b)$, se si pone $-a=b$.... terzo punto ok
Fai vedere anche il quarto punto, e hai finito.
(Lo stesso procedimento lo dovevi seguire prima se volevi dimostrare che $X_1$ e $X_3$ sono spazi vettoriali).
2) Dire che si tratta di un'intersezione tra due spazi vettoriali è sufficiente, però se non lo hai ancora studiato, devi procedere come per $ X_1$ ed $X_3$, verificando tutte le proprietà della definizione. Considerato che alcune regole valgono sempre, ti puoi limitare a controllare i 4 punti che ho riportato. Ecco come:
Si osserva che un generico vettore di $X_1 nn X_3$ è del tipo $(a, 0, -a)$ con $ainRR$ qualsiasi.
$(a, 0, -a) + (b, 0, -b)= (a+b, 0, -(a+b))in X_1 nn X_3$ ... primo punto ok
$(0,0,0) in X_1 nn X_3$ infatti.... secondo punto ok
Dato $(a, 0, -a)$, il suo opposto $(-a, 0, a)=(b, 0, -b)$, se si pone $-a=b$.... terzo punto ok
Fai vedere anche il quarto punto, e hai finito.
(Lo stesso procedimento lo dovevi seguire prima se volevi dimostrare che $X_1$ e $X_3$ sono spazi vettoriali).
@Andrea: Non ti serve esplicitare cos'è $X_1 uu X_3$, ti basta trovare due vettori che appartengono all'unione (quindi che appartengono a almeno uno tra $X_1$ e $X_3$) e la cui somma non sia in nessuno dei due e quindi nemmeno nell'unione (come nell'esempio di robbstark)
@Robb: Occhio che hai invertito un paio di volte $nn$ con $uu$ nell'ultimo post
@Robb: Occhio che hai invertito un paio di volte $nn$ con $uu$ nell'ultimo post
@gatto89: Ho corretto. Ora dovrebbe essere ok.
Perfetto tutto chiaro!
Un'ultima domanda, sempre riguardo gli spazi vettoriali, però con l'insieme:
$A={(x;y)inRR^2: x>=0}$.
Posso affermare che $A$ non è un $RR$-spazio vettoriale ? L'avrei dedotto dal fatto che non esiste l'elemento opposto (per la somma). Giusto?
N.B.: nel testo dell'esercizio ci si riferisce alle operazioni generiche definite in $RR^2$, quindi ritengo che siano le usuali operazioni di somma e di prodotto...
Un'ultima domanda, sempre riguardo gli spazi vettoriali, però con l'insieme:
$A={(x;y)inRR^2: x>=0}$.
Posso affermare che $A$ non è un $RR$-spazio vettoriale ? L'avrei dedotto dal fatto che non esiste l'elemento opposto (per la somma). Giusto?
N.B.: nel testo dell'esercizio ci si riferisce alle operazioni generiche definite in $RR^2$, quindi ritengo che siano le usuali operazioni di somma e di prodotto...
Sì, giusto.
Se ho capito bene sì: si intende la somma tra vettori e il prodotto di un numero reale per un vettore.
Se ho capito bene sì: si intende la somma tra vettori e il prodotto di un numero reale per un vettore.
Esatto! Vi ringrazio per le risposte!
Andrea
Andrea
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