Spazi vettoriali

[Gerry105]

Salve, devo risolvere questo problema, qualcuno saprebbe aiutarmi?
Dati i vettori u=(1 0 2) e v=(0 1 1), determinare un terzo vettore w in modo che la terna (u, v, w) possa formare una base di R3 (specificando la condizione perchè tre vettori formino una base in R3).


Grazie mille
Gerardo

[Domè891]

io direi, che la condizione necessaria è che siano tutti e tre linearmente indipendeni tra loro...

ciao

[Gerry105]

si sono daccordo che devono essere tutti e tre l.i. ma come lo trovo il terzo vettore?

[dissonance]

prendi tre vettori l.i. di $RR^3$ e confrontali con quelli che hai. Può mai essere che tutti e tre i nuovi vettori siano l.d. dai due vecchi?

[Gerry105]

potresti farmi un esempio, ti ringrazio

[nirvana2]

Innanzitutto guardi se i due vettori dati sono indipendenti fra di loro: e lo sono. Poi ne aggiungi uno - per esempio $e_1 = (1,0,0)$ e vedi che i tre sono indipendenti (ovvio che sono pure generatori di $RR^3$ visto che sono appunto tre) e quindi formano una base qualunque di quello spazio.
Per vedere che sono indipendenti subito basta che fai il rango della matrice composta da quei tre vettori e vedi che ha rango 3.
Ciao.

[Gerry105]

grazie mille