SPAZI VETTORIALI
Ragazzi ho problemi con questo quesito:
Sia S=[(1,1,1),(0,0,-1),(1,1,-1),(-1,1,-2),(0,-1,1)]
1)Se S è un sistema di generatori di R^3
2)Se S contiene una base di R^3.In caso affermativo si dia un esempio di base B contenuta in S.
3)Utilizzando la base B dopo averla ordinata a piacere stabilire quali sono le componenti degli altri due vettori di S rispetto
a B.
4)Qual'è il vettore di R^3 di componenti 1,0-3 nella base B?
Io credo che per la 1) è un sistema di generatori perchè S è un sistema di geneneratori se ogni vettori di V cioè ogni vettore v1,.......vn che genera V dipende linearmente da S.In questo caso i primi tre vettori e l'ultimo di S sono linaeramente dipendenti perchè il primo contiene due volte lo stesso vettore il secondo contiene lo 0 il terzo anche contiene due volte lo stesso vettore e il quarto contiene lo 0.
Per il quesito 2) penso che ci sia una base in R^3 perche ogni sistema di generatori ammette basi.Ora per dare un esempio
di base B contenuta in S io credo che bisogna usare il TEOREMA DI ESTRAZIONE DI UNA BASE che dice che se S è un sistema minimale di generatori allora S è una base di V.Se S non è minimale bisogna rimuovere un vettore e procedere in modo analogo finchè non si arriva ad un sistema di generatori minimale.In questo caso io ho rimosso tutti i vettori che generavano V cioè quelli dipendenti ad S alla fine mi è rimasto il vettore (-1,1,-2) ed ho dedotto che era la base.
però il mio dubbio è che si deve applicare il terema di completamento di una base cioè:
Porre:
[(-1,1,-2),(0,1,0),(0,0,1)]
Per il punto 3) nn riesco a capire cosa significa ordinarla e quali sono le componenti degli altri due vettori di S rispetto a B??
per ordinare una base significa scriverla in forma canonica???
Per il punto 4) per trovare il vettore ho fatto in questo modo:
sapendo che la base B =(-1,1,-2)
v=1(-1,1,-2)+0(-1,1,-2)-3(-1,1,-2)
Ragazzi credo di aver sbagliato tutto per favore correggetemi grazie anticipatamente!!!
Sia S=[(1,1,1),(0,0,-1),(1,1,-1),(-1,1,-2),(0,-1,1)]
1)Se S è un sistema di generatori di R^3
2)Se S contiene una base di R^3.In caso affermativo si dia un esempio di base B contenuta in S.
3)Utilizzando la base B dopo averla ordinata a piacere stabilire quali sono le componenti degli altri due vettori di S rispetto
a B.
4)Qual'è il vettore di R^3 di componenti 1,0-3 nella base B?
Io credo che per la 1) è un sistema di generatori perchè S è un sistema di geneneratori se ogni vettori di V cioè ogni vettore v1,.......vn che genera V dipende linearmente da S.In questo caso i primi tre vettori e l'ultimo di S sono linaeramente dipendenti perchè il primo contiene due volte lo stesso vettore il secondo contiene lo 0 il terzo anche contiene due volte lo stesso vettore e il quarto contiene lo 0.
Per il quesito 2) penso che ci sia una base in R^3 perche ogni sistema di generatori ammette basi.Ora per dare un esempio
di base B contenuta in S io credo che bisogna usare il TEOREMA DI ESTRAZIONE DI UNA BASE che dice che se S è un sistema minimale di generatori allora S è una base di V.Se S non è minimale bisogna rimuovere un vettore e procedere in modo analogo finchè non si arriva ad un sistema di generatori minimale.In questo caso io ho rimosso tutti i vettori che generavano V cioè quelli dipendenti ad S alla fine mi è rimasto il vettore (-1,1,-2) ed ho dedotto che era la base.
però il mio dubbio è che si deve applicare il terema di completamento di una base cioè:
Porre:
[(-1,1,-2),(0,1,0),(0,0,1)]
Per il punto 3) nn riesco a capire cosa significa ordinarla e quali sono le componenti degli altri due vettori di S rispetto a B??
per ordinare una base significa scriverla in forma canonica???
Per il punto 4) per trovare il vettore ho fatto in questo modo:
sapendo che la base B =(-1,1,-2)
v=1(-1,1,-2)+0(-1,1,-2)-3(-1,1,-2)
Ragazzi credo di aver sbagliato tutto per favore correggetemi grazie anticipatamente!!!
Risposte
allora che ne dite???
Osserva che i vettori $(1,1,1),(0,-1,1),(0,0,-1)$ sono linearmente indipendenti (ad es. lo puoi ottenere
dal fatto che la matrice da essi definita ha determinante $\ne0$. Ciò risponde alle prime due domande.
Ordinare una base significa dire qual è il primo vettore, quale il secondo, quale il terzo. Chiaramente le
componenti degli altri vettori dipendono da tale ordinamento. Calcolare tali componenti equivale a risolvere
un opportuno sistema lineare (quale??). Il quarto è totalmente scemo. Basta calcolare il vettore $v_1-3v_3$,
essendo $v_i$ i vettori della tua base.
dal fatto che la matrice da essi definita ha determinante $\ne0$. Ciò risponde alle prime due domande.
Ordinare una base significa dire qual è il primo vettore, quale il secondo, quale il terzo. Chiaramente le
componenti degli altri vettori dipendono da tale ordinamento. Calcolare tali componenti equivale a risolvere
un opportuno sistema lineare (quale??). Il quarto è totalmente scemo. Basta calcolare il vettore $v_1-3v_3$,
essendo $v_i$ i vettori della tua base.
Un passo avanti :
Sia B = $(v_1,v_2,v_3) $ =$[(1,1,1);(0,-1,1);(0,0,-1)]$ la stessa base usata da uber .
I vettori rimanenti di S sono:
$v_4 = ( 1,1,-1)$ e $ v_5=(-1,1,-2)$ e sono da esprimere nella base B .
Cerchiamo quale sia la combinazione lineare dei vettori $v_1,v_2,v_3 $ che genera $ v_4 $ .Poichè B è una base , troverò senz'altro la combinazione lineare dei vettori della base che genera $v_4$ , anzi sarà unica.
La indicherò così :
$v_4 =av_1+bv_2+cv_3 $
Bisogna trovare i coefficienti $a,b,c $ .
$(1,1,-1) = a(1,1,1)+b(0,-1,1)+c(0,0,-1)$ ok ?
da cui :
$a=1 $
$ a-b = 1 $
$ a+b-c = 1 $
e finalmente $a=1,b=0,c=2 $.
Quindi $ v_4 $ si esprime nella base B come $(1,0,2)$ ok ?
In conclusione : $ v_4 = av_1+bv_2+cv_3 = v_1+2v_3 $ .
Verifica :
$1*(1,1,1)+2(0,0,-1) = (1,1,-1) = v_4 $ ok.
A te trovare la rappresentazione di $v_5$ nella base B.
Sia B = $(v_1,v_2,v_3) $ =$[(1,1,1);(0,-1,1);(0,0,-1)]$ la stessa base usata da uber .
I vettori rimanenti di S sono:
$v_4 = ( 1,1,-1)$ e $ v_5=(-1,1,-2)$ e sono da esprimere nella base B .
Cerchiamo quale sia la combinazione lineare dei vettori $v_1,v_2,v_3 $ che genera $ v_4 $ .Poichè B è una base , troverò senz'altro la combinazione lineare dei vettori della base che genera $v_4$ , anzi sarà unica.
La indicherò così :
$v_4 =av_1+bv_2+cv_3 $
Bisogna trovare i coefficienti $a,b,c $ .
$(1,1,-1) = a(1,1,1)+b(0,-1,1)+c(0,0,-1)$ ok ?
da cui :
$a=1 $
$ a-b = 1 $
$ a+b-c = 1 $
e finalmente $a=1,b=0,c=2 $.
Quindi $ v_4 $ si esprime nella base B come $(1,0,2)$ ok ?
In conclusione : $ v_4 = av_1+bv_2+cv_3 = v_1+2v_3 $ .
Verifica :
$1*(1,1,1)+2(0,0,-1) = (1,1,-1) = v_4 $ ok.
A te trovare la rappresentazione di $v_5$ nella base B.
ma come si fa a vedere sei i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti...a me mi hanno detto mediante il metodo
della matrice di Gauss-Jordan....qualcuno sa come si applica???
della matrice di Gauss-Jordan....qualcuno sa come si applica???
Prendi i vettori, li scrivi come righe e formi una matrice con tali vettori.
Riduci la matrice a scala per righe: la dimensione dello spazio generato da tali vettori è dato dal numero di righe diverse dal vettore nullo.
Ovviamente se hai $n$ vettori, e dopo la riduzione a scala tutte le righe risultano essere diverse dal vettore nullo, allora puoi concludere che i vettori da cui eri partito sono linearmente indipendenti.
Se ti torna più comodo puoi anche scrivere i vettori come colonne e ridurre per colonne, ovviamente è lo stesso.
Riduci la matrice a scala per righe: la dimensione dello spazio generato da tali vettori è dato dal numero di righe diverse dal vettore nullo.
Ovviamente se hai $n$ vettori, e dopo la riduzione a scala tutte le righe risultano essere diverse dal vettore nullo, allora puoi concludere che i vettori da cui eri partito sono linearmente indipendenti.
Se ti torna più comodo puoi anche scrivere i vettori come colonne e ridurre per colonne, ovviamente è lo stesso.
il problema è che sto studiando dal libro e non ho capito come si riduce una matrice normale ad una matrice a scala per righe...voi come ridurreste a scala questa matrice:
1 1 1
1 1 -1
-1 1 -2
0 0 -1
0 -1 1
scusate come lo posta ma nn mi funziona l'editor cmq si tratta della matrice con i vettori dell'esercizio precedente....
1 1 1
1 1 -1
-1 1 -2
0 0 -1
0 -1 1
scusate come lo posta ma nn mi funziona l'editor cmq si tratta della matrice con i vettori dell'esercizio precedente....
Per prima cosa io lavorerei sulla seconda riga sottraendo alla seconda riga la prima, e lasciando immutate le altre, cos' si ottiene questa matrice:
$((1,1,1),(0,0,-2),(-1,1,-2),(0,0,-1),(0,-1,1))$
A questo punto si lavora sulla terza, ad esempio sommando alla terza riga la prima, ottenendo:
$((1,1,1),(0,0,-2),(0,2,-1),(0,0,-1),(0,-1,1))$
A questo punto solo un vettore ha un elemento non nullo al primo posto, quindi ora occupiamoci del secondo posto.
Per prima cosa cambiamo l'ordine delle righe in questo modo:
$((1,1,1),(0,2,-1),(0,-1,1),(0,0,-2),(0,0,-1))$
Lavoriamo sulla seconda riga, ad esempio aggiungendo alla seconda il doppio della terza ottenendo:
$((1,1,1),(0,0,1),(0,-1,1),(0,0,-2),(0,0,-1))$
Scambiamo la terza riga con la seconda e otteniamo:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,-2),(0,0,-1))$
Lavoriamo ora sulle righe 3, 4 e 5.
Dividiamo la quarta per -2, moltiplichiamo la quinta per -1, otteniamo questa matrice:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,1),(0,0,1))$
Lavoriamo sulla quarta riga, sottraendogli la terza:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,0),(0,0,1))$
Lavoriamo sulla quinta riga sottraendogli la terza:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Ora la matrice è a scala, e questi tre vettori che sono rimasti sono linearmente indipendenti.
Dato che ci sono due righe nulle significa che i vettori da cui eravamo partiti erano linearmente dipendenti.
$((1,1,1),(0,0,-2),(-1,1,-2),(0,0,-1),(0,-1,1))$
A questo punto si lavora sulla terza, ad esempio sommando alla terza riga la prima, ottenendo:
$((1,1,1),(0,0,-2),(0,2,-1),(0,0,-1),(0,-1,1))$
A questo punto solo un vettore ha un elemento non nullo al primo posto, quindi ora occupiamoci del secondo posto.
Per prima cosa cambiamo l'ordine delle righe in questo modo:
$((1,1,1),(0,2,-1),(0,-1,1),(0,0,-2),(0,0,-1))$
Lavoriamo sulla seconda riga, ad esempio aggiungendo alla seconda il doppio della terza ottenendo:
$((1,1,1),(0,0,1),(0,-1,1),(0,0,-2),(0,0,-1))$
Scambiamo la terza riga con la seconda e otteniamo:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,-2),(0,0,-1))$
Lavoriamo ora sulle righe 3, 4 e 5.
Dividiamo la quarta per -2, moltiplichiamo la quinta per -1, otteniamo questa matrice:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,1),(0,0,1))$
Lavoriamo sulla quarta riga, sottraendogli la terza:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,0),(0,0,1))$
Lavoriamo sulla quinta riga sottraendogli la terza:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Ora la matrice è a scala, e questi tre vettori che sono rimasti sono linearmente indipendenti.
Dato che ci sono due righe nulle significa che i vettori da cui eravamo partiti erano linearmente dipendenti.
ma questo metodo è universale per qualsiasi tipo di matrice????
cioè per qualsiasi tipo di vettore??
cioè per qualsiasi tipo di vettore??
Citazione:
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Ora la matrice è a scala, e questi tre vettori che sono rimasti sono linearmente indipendenti.
Però ho una perplessità i vettori linearmente indipendenti che poi sono i vettori della base non dovrebbero risultare questi:
(1,1,1),(0,-1,1),(0,0,-1) invece il terzo vettore linearmente indipendente è (0,0,1) infatti quando vado a fare le componenti dei vettori di S rispetto alla base B (mi riferisco al quesito 3) il quesito parla di due vettori rispetto alla base quindi se fosse
(0,0,1) il terzo vettore della base,le componenti dovrebbero essere tre cioè compreso (0,0,-1)....
Spero che qualcuno mi chiarisca questo dubbio....
Un'altra cosa vorrei sapere....ma quando capitano questi sistemi con parecchi vettori dove è difficile capire se sono dipendenti oppure indipendenti quale è il procedimento più semplice???cioè anche nel quesito che ho proposto si può applicare un metodo più semplice e universale...
Ad esempio ho trovato alcuni esercizi svolti che usano il determinante della matrice ma non so fare il procedimento...perchè non viene spiegato viene data la soluzione e invita la verifica di tale soluzione con il metodo del determinante della matrice
Ragazzi se qualcuno puo' aiutarmi per cortesia si faccia vivo!!ringrazio tutti quelli che mi hanno risposto!!!grazie
per la costante disponibilità!!!
$((1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$
Ora la matrice è a scala, e questi tre vettori che sono rimasti sono linearmente indipendenti.
Però ho una perplessità i vettori linearmente indipendenti che poi sono i vettori della base non dovrebbero risultare questi:
(1,1,1),(0,-1,1),(0,0,-1) invece il terzo vettore linearmente indipendente è (0,0,1) infatti quando vado a fare le componenti dei vettori di S rispetto alla base B (mi riferisco al quesito 3) il quesito parla di due vettori rispetto alla base quindi se fosse
(0,0,1) il terzo vettore della base,le componenti dovrebbero essere tre cioè compreso (0,0,-1)....
Spero che qualcuno mi chiarisca questo dubbio....
Un'altra cosa vorrei sapere....ma quando capitano questi sistemi con parecchi vettori dove è difficile capire se sono dipendenti oppure indipendenti quale è il procedimento più semplice???cioè anche nel quesito che ho proposto si può applicare un metodo più semplice e universale...
Ad esempio ho trovato alcuni esercizi svolti che usano il determinante della matrice ma non so fare il procedimento...perchè non viene spiegato viene data la soluzione e invita la verifica di tale soluzione con il metodo del determinante della matrice
Ragazzi se qualcuno puo' aiutarmi per cortesia si faccia vivo!!ringrazio tutti quelli che mi hanno risposto!!!grazie
per la costante disponibilità!!!
Non c'è nessuna differenza fra lo spazio generato da (1,1,1),(0,-1,1),(0,0,-1) e lo spazio generato da (1,1,1),(0,-1,1),(0,0,1), in quanto i vettori (0,0,1) e (0,0,-1) differiscono solo per una costante moltiplicativa.
È vero che scegliendo una base piuttosto che l'altra le coordinate dei vettori cambiano, ma lo spazio generato da queste due basi è esattamente lo stesso.
Per quanto riguarda il metodo di riduzione a scala della matrice questo è universale e si basa su tre operazioni elementari:
1) Sommare una riga con un'altra
2) Moltiplicare una riga per una costante
3) Scambiare di posto due righe
È vero che scegliendo una base piuttosto che l'altra le coordinate dei vettori cambiano, ma lo spazio generato da queste due basi è esattamente lo stesso.
Per quanto riguarda il metodo di riduzione a scala della matrice questo è universale e si basa su tre operazioni elementari:
1) Sommare una riga con un'altra
2) Moltiplicare una riga per una costante
3) Scambiare di posto due righe
Per quanto riguarda determinare se un insieme di vettori è indipendente o no: il determinante della matrice lo puoi usare solo se la matrice è quadrata (ovviamente) e, secondo me, il metodo che ho usato io rimane il più veloce per studiare l'indipendenza di vettori.
Ti faccio notare che se tu hai $m$ vettori i quali hanno $n$ componenti, con $m>n$, allora quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti.
Ti faccio notare che se tu hai $m$ vettori i quali hanno $n$ componenti, con $m>n$, allora quei vettori sono sicuramente linearmente dipendenti.
Se la matrice non è quadrata, non puoi calcolarne il determinante; è però possibile calcolare comunque il rango della matrice che ti dirà quanti sono i vettori linearmente indipendenti.
Non so però se questo procedimento ti è familiare.
Si deve cercare un minore che abbia determinante non nullo e poi orlare questo minore non nullo in tutti i modi possibili ( teorema di Kronecker) e trovare quale è il minore di ordine massimo che ha determinante diverso da zero.
L'ordine di quel determinante ti dà il rango della matrice e quindi il numero di vettori lin. indip.
Non so però se questo procedimento ti è familiare.
Si deve cercare un minore che abbia determinante non nullo e poi orlare questo minore non nullo in tutti i modi possibili ( teorema di Kronecker) e trovare quale è il minore di ordine massimo che ha determinante diverso da zero.
L'ordine di quel determinante ti dà il rango della matrice e quindi il numero di vettori lin. indip.
Ragazzi ho trovato su internet questo metodo ovviamente è sempre il metodo a scalini:
Prendi una riga avente il primo elemento diverso da zero e scambiala con la prima. Se tutte le righe hanno il primo elemento nullo, vai al punto 3.
Per ogni riga moltiplica la prima riga per un coefficiente in modo che, sommandola ad Ai, ne cancelli il primo coefficiente.
Adesso sulla prima colonna tutte le cifre, eccetto forse la prima, sono nulle. A questo punto ritorna al punto 1 considerando la sottomatrice che ottieni cancellando la prima riga e la prima colonna. Le mosse di Gauss successive andranno comunque fatte su tutta la matrice.
Spero che sia un metodo esatto voi che ne dite??
Prendi una riga avente il primo elemento diverso da zero e scambiala con la prima. Se tutte le righe hanno il primo elemento nullo, vai al punto 3.
Per ogni riga moltiplica la prima riga per un coefficiente in modo che, sommandola ad Ai, ne cancelli il primo coefficiente.
Adesso sulla prima colonna tutte le cifre, eccetto forse la prima, sono nulle. A questo punto ritorna al punto 1 considerando la sottomatrice che ottieni cancellando la prima riga e la prima colonna. Le mosse di Gauss successive andranno comunque fatte su tutta la matrice.
Spero che sia un metodo esatto voi che ne dite??
È esattamente il metodo che ho usato io.
Ragazzi ho provato con il metodo del rango che mi ha suggerito Camillo il quale ringrazio:
I=[(1,0,2),(1,1,1),(1,-2,4),(3,-1,7),(1,3,2),(3,4,2)]
Ho messo i vettori sotto forma di matrice:
1 0 2
1 1 1
1-2 4
3-1 7
1 3 2
3 4 2
Ho trovato due minori di ordine 3 di cui il primo ha determinante 0 infatti:
1 0 2
1 1 1 =0
1-2 4
Il secondo minore ha determinante:
3-1 7
1 3 2 =-45
3 4 2
dove -45 è diverso da zero quindi si può dire che la matrice ha rango 3 e quindi in base a quello che ha detto Camillo:
la matrice avrà tre vettori linearmente indipendenti....ora il problema è che io conosco la quantità di vettori linearmente indipendenti ma nn so quali sono....mi interessa sapere quali sono perchè devo trovare una base.
Come si fà a capire quali sono??
I=[(1,0,2),(1,1,1),(1,-2,4),(3,-1,7),(1,3,2),(3,4,2)]
Ho messo i vettori sotto forma di matrice:
1 0 2
1 1 1
1-2 4
3-1 7
1 3 2
3 4 2
Ho trovato due minori di ordine 3 di cui il primo ha determinante 0 infatti:
1 0 2
1 1 1 =0
1-2 4
Il secondo minore ha determinante:
3-1 7
1 3 2 =-45
3 4 2
dove -45 è diverso da zero quindi si può dire che la matrice ha rango 3 e quindi in base a quello che ha detto Camillo:
la matrice avrà tre vettori linearmente indipendenti....ora il problema è che io conosco la quantità di vettori linearmente indipendenti ma nn so quali sono....mi interessa sapere quali sono perchè devo trovare una base.
Come si fà a capire quali sono??
I vettori corrispondenti alle righe del minore con determinante diverso da zero.
Quindi sono questi tre vettori linearmente indipendenti:
(3,-1, 7),(1, 3 ,2 ),(3, 4 ,2)
soltanto che nella soluzione dice che i vettori indipendenti sono:
(1,0,2),(1,1,1),(1,3,2)
però secondo me si può dire che anche i vettori: (3,-1, 7),(1, 3 ,2 ),(3, 4 ,2) possono costituire una base di R^3
Cmq grazie per avermi risposto lo so che vi sto scocciando...grazie ancora!!
(3,-1, 7),(1, 3 ,2 ),(3, 4 ,2)
soltanto che nella soluzione dice che i vettori indipendenti sono:
(1,0,2),(1,1,1),(1,3,2)
però secondo me si può dire che anche i vettori: (3,-1, 7),(1, 3 ,2 ),(3, 4 ,2) possono costituire una base di R^3
Cmq grazie per avermi risposto lo so che vi sto scocciando...grazie ancora!!
Esatto, entrambe le terne indicate costituiscano un base di $R^3$ in quanto vettori linearmente indipendenti e in numero di 3.
Naturalemnte le basi di $R^3$ sono : $oo$.
Naturalemnte le basi di $R^3$ sono : $oo$.
Grazie Camillo grazie a tutti mi avete chiarito un bel dubbio!!! !!ma voi siete per forza degli insegnanti per avere questa pazienza!!!!
!!ma voi siete per forza degli insegnanti per avere questa pazienza!!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo