Spazi Vettoriali

[Pivot1]

Siano W_1 il sottospazio di R^3 generato dei vettori:

u_1 = (1,1,-1)

u_2 = (2,-1,1)

e w_2 il sottospazio di R^3 generato dai vettori:

v_1 = (1,2,-1)

v_2 = (-1,-1,2)

Trovare dim(w_1 intersecato w_2) ed una sua base.


Per trovare la dim(w_1 intersecato w_2) ho prima trovato la dimW_1 e poi quella di dimW_2
Poi ho usato il teorema della dimensione:

facendo una riduzione a gradini sulla matrice

1 1 -1
2 -1 1

trovo che la dimW_1 = 2

1 1 -1
0 -3 3

infatti ho due righe linearmente indipendenti

stessa cosa poi ho fatto per W_2:

1 2 -1
0 1 1

la dimW_2 = 2

allora la dim(w_1 intersecato w_2) = 1
per la formula dimensionale di Grasmann

Ora come faccio a trovare una base dell'intersezione?

Grazie

[_Tipper]

Una base di W_1 è (1,1,-1) (0,-1,1), quindi un generico vettore ha queste componenti (a, a - b, -a + b)
In forma cartesiana:
x=a y=a-b z=b-a
quindi l'equazioen cartesiana di W_1 è y+z=0
Facciamo lo stesso per W_2:
una sua base è (1,2,-1) (0,1,1) e un vettore generico è questo (a, 2a + b, -a + b)
da cui si ottiene:
x=a y=2a+b z=-a+b
b=z+a
y=2x + z + x quindi l'equazione cartesiana di W_2 è:
3x - y + z = 0
L'equazione cartesiana di W_! intersecato W_2 è il sistema
y+z=0
3x - y + z = 0

y=-z
3x + z + z = 0

y= - z
x = -2z/3
ponendo z = a, cioè z è il paramettro libero, si trova che un generico vettore del'intersezione ha queste componenti:
(-2a/3, -a, a) = a(-2/3, -1, 1)
quindi una base dello spazio intersezione è dato dal vettore (-2/3, -1, 1)

Spero di essere stato chiaro, ciao.

[Pivot1]

Quindi Tipper una base per W_1 e W_2 sono rispettivamente le righe non zero della matrice ridotta a gradini?

Non ho capito come hai fatto per l'intersezione?

[_Tipper]

L'esercizio diceva che una base di W_1 era data dai vettori (1,1,-1) e (2,-1,1), però per trovare una base di questo sottospazio più semplice conviene ridurre la matrice a scala, proprio come hai fatto te, e si trova la base di W_1 composta dai vettori (1,1,-1) e (0,-1,1).
Un generico vettore di W_1 è una combinazione lineare dei vettori della base, quindi siano a b due costanti, allora un generico vettore di W_1 è questa combinazione lineare:
a(1,1,-1) + b(0,-1,1) = (a, a-b, -a+b)
Scriviamo questo sottospazio in forma cartesiana, uguagliando la prima compoente a x, la seconda a y, la terza a z e eliminiamo i parametri a b, otteniamo queste tre equazioni:
x=a
y=a-b
z=-a+b

x=a
y=x-b
z=-x+b

x=a
b=x-y
z=-x+x-y

x=a
b=x-y
z=-y

Quindi l'equazione cartesiana di W_1 è y+z=0
Facendo lo stesso con W_2 si trova l'equazione cartesiana di W_2 che risulta essere 3x - y + z = 0
A questo punto abbiamo l'equazione cartesiana di W_1, abbiamo l'equazione cartesiana di W_2, per trovare l'equazione cartesiana dell'intersezione basta fare il sistema fra queste equazioni, cioè si deve mettere a sistema queste due equazioni:
y+z=0
3x - y + z = 0

y=-z
3x+z+z=0

y=-z
x=-2z/3

Abbiamo due equazioni in tre incognite, quindi una variabile è libera.
Scegliamo z come variabile libera e poniamo z=a, dove a è una costante arbitraria, allora:
x=-2a/3
y=-a
z=a
Quindi un generico vettore dello spazio intersezione ha queste componenti:
(-2a/3, -a, a) = a(-2/3, -1, 1)
Quindi una base dello spazio intersezione è il vettore (-2/3, -1, 1).

Se hai altri dubbi chiedi pure, ciao.