Spazi Vettoriali
Buongiorno, vorrei che mi aiutaste ad interpretare il seguente esercizio:
Assegnati i vettori di $R^3$: \( v_1=(1,0,-1) , v_2=(0,1,2),v_3=(0,0,1),v_4(-3,2,-1) \) , si verifichi la lineare indipendenza di \( v_1,v_2,v_3 \) e si determinino le componenti di $v_4$ nel riferimento $R=(v_1,v_2,v_3)$.
La verifica della lineare indipendenza è stata immediata. Conoscendo la dimensione n dello spazio vettoriale e trovati n vettori L.I. tali vettori costituiscono una base dello spazio vettoriale \( V\equiv R^3 \) senza dimostrare che essi siano anche un sistema di generatori.
La seconda parte della traccia non l'ho ben compresa. Mi sarebbe venuto in mente di calcolare le componenti del vettore $v_4$ utilizzando la formula del cambiamento di riferimento \( X'={A^{-1}}_{-1} X \). Ma non avrei due basi distinte..
Grazie.
Assegnati i vettori di $R^3$: \( v_1=(1,0,-1) , v_2=(0,1,2),v_3=(0,0,1),v_4(-3,2,-1) \) , si verifichi la lineare indipendenza di \( v_1,v_2,v_3 \) e si determinino le componenti di $v_4$ nel riferimento $R=(v_1,v_2,v_3)$.
La verifica della lineare indipendenza è stata immediata. Conoscendo la dimensione n dello spazio vettoriale e trovati n vettori L.I. tali vettori costituiscono una base dello spazio vettoriale \( V\equiv R^3 \) senza dimostrare che essi siano anche un sistema di generatori.
La seconda parte della traccia non l'ho ben compresa. Mi sarebbe venuto in mente di calcolare le componenti del vettore $v_4$ utilizzando la formula del cambiamento di riferimento \( X'={A^{-1}}_{-1} X \). Ma non avrei due basi distinte..
Grazie.
Risposte
Devi risolvere ${(1*x_1+0*x_2+0*x_3= -3),(0*x_1+1*x_2+0*x_3=2),(-1*x_1+2*x_2+1*x_3= -1):}$
Grazie per la risposta.
Ricapitoliamo: questo esercizio mi propone 4 vettori, ma uno è combinazione lineare. Il che vuol dire che tali vettori non possono formare una base dello spazio vettoriale in questione. Successivamente, ammettiamo che i primi 3 possano formare una base dello spazio vettoriale (il tutto verificato dalle condizioni di esistenza di una base).
Ora quindi, indichiamo come \( B=({v_1,v_2,v_3)} = [(1,0,-1),(0,1,2),(0,01)] \) la suddetta base. Si richiede quindi di determinare le componenti di $v_4$ nel riferimento $R=(v_1,v_2,v_3)$.
Ho dato un'occhiata all'equazione da te proposta, ma vorrei capirci di più.. Ossia, ho notato che il sistema da te proposto è in relazione con quello che accade ogni qualvolta si voglia cambiare riferimento.
Eccola: \( X=A_{-1}*X' \) dove A rappresenta la matrice di passaggio dal riferimento X ad X' .
a quel punto hai imposto \( X=\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \) , hai potuto calcolare la matrice di passaggio, conoscendo le componenti della base R percui : \( A_{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) e quindi:
\( \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \)
da dove sarà possibile calcolarsi le componenti di $v_4$
Se ho fatto qualche errore correggimi pure
Ricapitoliamo: questo esercizio mi propone 4 vettori, ma uno è combinazione lineare. Il che vuol dire che tali vettori non possono formare una base dello spazio vettoriale in questione. Successivamente, ammettiamo che i primi 3 possano formare una base dello spazio vettoriale (il tutto verificato dalle condizioni di esistenza di una base).
Ora quindi, indichiamo come \( B=({v_1,v_2,v_3)} = [(1,0,-1),(0,1,2),(0,01)] \) la suddetta base. Si richiede quindi di determinare le componenti di $v_4$ nel riferimento $R=(v_1,v_2,v_3)$.
Ho dato un'occhiata all'equazione da te proposta, ma vorrei capirci di più.. Ossia, ho notato che il sistema da te proposto è in relazione con quello che accade ogni qualvolta si voglia cambiare riferimento.
Eccola: \( X=A_{-1}*X' \) dove A rappresenta la matrice di passaggio dal riferimento X ad X' .
a quel punto hai imposto \( X=\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \) , hai potuto calcolare la matrice di passaggio, conoscendo le componenti della base R percui : \( A_{-1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) e quindi:
\( \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \)
da dove sarà possibile calcolarsi le componenti di $v_4$
Se ho fatto qualche errore correggimi pure
Premesso che ho capito poco (anche perché ne so poco dell'argomento 
), ho fatto questo semplice ragionamento ...
Ogni terna di vettori di $RR^3$ linearmente indipendenti costituisce una base di $RR^3$ e di conseguenza ogni vettore di $RR^3$ è combinazione lineare dei vettori della base.
Dato che abbiamo appurato che $\bar(v_1), \bar(v_2), \bar(v_3)$ sono una base allora $\bar(v_4)$ è combinazione lineare di quelli ovvero esistono tre scalari tali che sia $\bar(v_4)=alpha_1*\bar(v_1)+alpha_2*\bar(v_2)+alpha_3*\bar(v_3)$.
Ma questo non è altro che il sistema del mio post precedente.
), ho fatto questo semplice ragionamento ...Ogni terna di vettori di $RR^3$ linearmente indipendenti costituisce una base di $RR^3$ e di conseguenza ogni vettore di $RR^3$ è combinazione lineare dei vettori della base.
Dato che abbiamo appurato che $\bar(v_1), \bar(v_2), \bar(v_3)$ sono una base allora $\bar(v_4)$ è combinazione lineare di quelli ovvero esistono tre scalari tali che sia $\bar(v_4)=alpha_1*\bar(v_1)+alpha_2*\bar(v_2)+alpha_3*\bar(v_3)$.
Ma questo non è altro che il sistema del mio post precedente.
Giusto. A volte ci complichiamo la vita 
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