Spazi vettoriali
Nello spazio vettoriale R^3 si considerano i sottospazi
W1= Lr {w1= (0 1 -2 ), w2= (1 0 2)} e W2= Lr{w3=(1 1 0) w4= (2 1 2)}
p.s. i vettori sono scritti in colonna non in riga
1. verificare che i sopra indicati insiemi di generatori costituiscono una base per il sottospazio
2. verificare W1=W2
3. estendere la base (w1,w2) di W1 a una base di R3
Heelp me
W1= Lr {w1= (0 1 -2 ), w2= (1 0 2)} e W2= Lr{w3=(1 1 0) w4= (2 1 2)}
p.s. i vettori sono scritti in colonna non in riga
1. verificare che i sopra indicati insiemi di generatori costituiscono una base per il sottospazio
2. verificare W1=W2
3. estendere la base (w1,w2) di W1 a una base di R3
Heelp me
Risposte
1) devi verificare che sono linearmente indipendenti
a*w1+b*w2=0
a*0+b=0
a+b*0=0
-2a+2b=0
risolvi e trovi che a=b=0 per cui l.i.
fai lo stesso con w3 w4
2)potresti far vedere che puoi trovare la base di W2 dalla base di W1 quindi
per w3 poni
a*0+b=1
a+b*0=1
-2a+2b=0
e vedi che ha soluzione a=1 b=1
poi per w4 poni
a*0+b=2
a+b*0=1
-2a+2b=2
che non ha soluzione per cui non è W1=W2
in modo alternativo potresti costruire la matrice 3x3 con le prime due colonne w1 w2 (nulla cambia se li scrivi come righe) poi una volta metti w3 e calcoli il determinate scoprendo che è nullo per cui sono l.d. e poi metti w4 e calcoli il determinante e vedi che è diverso da 0 per cui w4 non si può calcolare dagli altri 2 quindi ancora una volta non è W1=W2
3)
per fare la cosa proprio formale allora potresti creare la matrice con le prima due colonne da w1 w2 (come prima) e la terza poni (x y z) e calcoli il determinate che viene 2x-2y-z
e scegli x y z in modo tale che non annullano il determinante, per esempio (1 1 1)
altrimenti molto più velocemente puoi aggiungere il vettore dell'altra base di cui sai già non è combinazione lineare
a*w1+b*w2=0
a*0+b=0
a+b*0=0
-2a+2b=0
risolvi e trovi che a=b=0 per cui l.i.
fai lo stesso con w3 w4
2)potresti far vedere che puoi trovare la base di W2 dalla base di W1 quindi
per w3 poni
a*0+b=1
a+b*0=1
-2a+2b=0
e vedi che ha soluzione a=1 b=1
poi per w4 poni
a*0+b=2
a+b*0=1
-2a+2b=2
che non ha soluzione per cui non è W1=W2
in modo alternativo potresti costruire la matrice 3x3 con le prime due colonne w1 w2 (nulla cambia se li scrivi come righe) poi una volta metti w3 e calcoli il determinate scoprendo che è nullo per cui sono l.d. e poi metti w4 e calcoli il determinante e vedi che è diverso da 0 per cui w4 non si può calcolare dagli altri 2 quindi ancora una volta non è W1=W2
3)
per fare la cosa proprio formale allora potresti creare la matrice con le prima due colonne da w1 w2 (come prima) e la terza poni (x y z) e calcoli il determinate che viene 2x-2y-z
e scegli x y z in modo tale che non annullano il determinante, per esempio (1 1 1)
altrimenti molto più velocemente puoi aggiungere il vettore dell'altra base di cui sai già non è combinazione lineare
Tutto molto chiaro, una domanda per l'indipendanza / dipendenza lineare c'è un modo più veloce? Mentre per vedere se sono una base basta che siano generatori e L.I giusto?
dipende dal contesto... se sei in uno spazio di dimensione n e i vettori sono più di n ovviamente sono immediatamente l.d. se sono proprio n puoi creare una matrice e calcolare il determinante.. se sono meno di n o fai il sistema o li metti in una matrice e la riduci a gradini e se qualche riga si annulla allora sono l.d.
per la seconda damanda... si, oppure se conosci la dimensione dello spazio... supponiamo sia n... allora devi solo dimostrare che n vettori siano l.i.
per la seconda damanda... si, oppure se conosci la dimensione dello spazio... supponiamo sia n... allora devi solo dimostrare che n vettori siano l.i.
l'ultim punto chiede
1. verificare se v1= 122 v2= 23-2 appartengonoa W1 e le coordinate rispetto alla base w1 e w2
1. verificare se v1= 122 v2= 23-2 appartengonoa W1 e le coordinate rispetto alla base w1 e w2
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