Spazi vettoriali
Domanda di teoria:
Esistono altri spazi vettoriali, diversi da $R^3$, che abbiano dimensione $3$ ?
(se si, scrivere un esempio)
(se no, dire perchè)
Esistono altri spazi vettoriali, diversi da $R^3$, che abbiano dimensione $3$ ?
(se si, scrivere un esempio)
(se no, dire perchè)
Risposte
Ad essere cattivi ci si dovrebbe chiedere cosa significa uguali. Immagino che la risposta che vuole sia no (dove due spazi vettoriali sono uguale se sono isomorfi). Ma mi fermo a questo suggerimento perché altrimenti faccio tutto il lavoro io.
io risponderei NO perchè $R^3->dim=3$
ad esempio $R^4->dim=4$
quindi prendendo qualsiasi altro spazio vettoriale, la dimensione non può essere 3.
ad esempio $R^4->dim=4$
quindi prendendo qualsiasi altro spazio vettoriale, la dimensione non può essere 3.
E che mi dici dell'insieme dei polinomi di grado al più due o dell'insieme delle trasformazioni lineari da \(\mathbb{R}\) in \((\mathbb{R}^3\)? O ancora il sottospazio lineare dell'insieme delle funzioni continue generato da \(\sin x\), \(\cos x\) e \(e^x\) ?
non so come risolvere l'esercizio.
se la risposta è si, devo riportare un esempio.
se la risposta è no, devo dire perchè.
prima mi hai fatto capire che la risposta fosse no, adesso mi hai riportato degli esempi e quindi la risposta è si.
puoi essere piu chiaro?
se la risposta è si, devo riportare un esempio.
se la risposta è no, devo dire perchè.
prima mi hai fatto capire che la risposta fosse no, adesso mi hai riportato degli esempi e quindi la risposta è si.
puoi essere piu chiaro?
chi mi aiuta?
La risposta è sì! $RR^2[x]$ è l'unico esempio che mi viene in mente. Cioè lo spazio dei polinomi di grado al più 2.
La risposta è no. E la motivazione è che ogni spazio vettoriale di dimensione 3 possiede un isomorfismo con \(\mathbb{R}^3\) (in realtà infiniti).
Ciao a tutti.
Perdonate l'intrusione, ma secondo me quando si parla di uguaglianza tra due (sotto)spazi vettoriali, si dovrebbe sottointendere, di norma, l'uguaglianza in senso insiemistico, perchè i sottospazi vettoriali sono principalmente degli insiemi; è vero, si tratta di insiemi con particolari proprietà, ma si tratta sempre di insiemi.
Poi, riguardo al discorso degli spazi tra loro isomorfi, effettivamente si può arrivare a sostenere che essi "coincidono tra loro a meno di un isomorfismo", sfruttando la seguente relazione di equivalenza $~$ tra sottospazi, così definita:
$U~W Leftrightarrow U text(è isomorfo a) W$
Quindi, gli spazi coincidenti (in senso "isomorfistico") dovrebbero essere, semplicemente spazi che appartengono alla stessa classe di equivalenza rispetto alla relazione $~$.
In effetti, le relazioni di equivalenza vengono introdotte principalmente proprio per estendere il concetto di uguaglianza e in questo senso comprendo il post di vict85, pur dissentendo da lui (almeno in parte).
Saluti.
Perdonate l'intrusione, ma secondo me quando si parla di uguaglianza tra due (sotto)spazi vettoriali, si dovrebbe sottointendere, di norma, l'uguaglianza in senso insiemistico, perchè i sottospazi vettoriali sono principalmente degli insiemi; è vero, si tratta di insiemi con particolari proprietà, ma si tratta sempre di insiemi.
Poi, riguardo al discorso degli spazi tra loro isomorfi, effettivamente si può arrivare a sostenere che essi "coincidono tra loro a meno di un isomorfismo", sfruttando la seguente relazione di equivalenza $~$ tra sottospazi, così definita:
$U~W Leftrightarrow U text(è isomorfo a) W$
Quindi, gli spazi coincidenti (in senso "isomorfistico") dovrebbero essere, semplicemente spazi che appartengono alla stessa classe di equivalenza rispetto alla relazione $~$.
In effetti, le relazioni di equivalenza vengono introdotte principalmente proprio per estendere il concetto di uguaglianza e in questo senso comprendo il post di vict85, pur dissentendo da lui (almeno in parte).
Saluti.
Come avevo già detto nel mio primo messaggio si sarebbe dovuto specificare quale fosse il significato di uguale.
D'altra parte ritengo che la domanda avesse il senso che ho inteso io, perché è comune che sia così e in caso contrario la domanda sarebbe stata priva di ogni interesse. Il semplice fatto che lo studente sappia elencare esempi classici di spazi vettoriali è di scarsa importanza, al contrario è fondamentale che lo studente riconosca che la funzione dimensione sia sufficiente a classificare tutti gli spazi vettoriali a meno di isomorfismi. Per altri tipi di strutture algebriche questa caratteristica non è sufficiente.
Volendo comunque si sarebbe potuto anche rispondere: si, esiste \(\mathbb{Z}_7^3\) (penso si usi una notazione diversa). D'altra parte non tutti gli spazi vettoriali sono reali.
Comunque all'università il termine di uguale viene usato quasi sempre per indicare “a meno di isomorfismi”. È inoltre importante notare che il termine uguale nel senso che usi tu ( alessandro8 ) è decisamente mal definito, specialmente considerando che spesso uno stesso “insieme” viene definito in modi diversi tra i vari autori. Insomma cos'è un polinomio? Per alcuni autori l'insieme \(\displaystyle \mathbb{R}[x] \) non è altro che \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) (con l'aggiunta dell'operazione di moltiplicazione e la selezione di un particolare elemento), per altri è un sottoinsieme dell'insieme delle funzioni continue da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\). Per altri ancora è un qualsiasi insieme che soddisfa particolari proprietà universali. Si sarebbe potuto usare l'insieme \(\displaystyle (\mathbb{R}^3)^{\ast} \) (il duale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \)) oppure l'insieme delle funzioni da \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). Ma in fin dei conti vogliamo davvero considerare diversi n-tuple, vettori righe e vettori colonna?
D'altra parte ritengo che la domanda avesse il senso che ho inteso io, perché è comune che sia così e in caso contrario la domanda sarebbe stata priva di ogni interesse. Il semplice fatto che lo studente sappia elencare esempi classici di spazi vettoriali è di scarsa importanza, al contrario è fondamentale che lo studente riconosca che la funzione dimensione sia sufficiente a classificare tutti gli spazi vettoriali a meno di isomorfismi. Per altri tipi di strutture algebriche questa caratteristica non è sufficiente.
Volendo comunque si sarebbe potuto anche rispondere: si, esiste \(\mathbb{Z}_7^3\) (penso si usi una notazione diversa). D'altra parte non tutti gli spazi vettoriali sono reali.
Comunque all'università il termine di uguale viene usato quasi sempre per indicare “a meno di isomorfismi”. È inoltre importante notare che il termine uguale nel senso che usi tu ( alessandro8 ) è decisamente mal definito, specialmente considerando che spesso uno stesso “insieme” viene definito in modi diversi tra i vari autori. Insomma cos'è un polinomio? Per alcuni autori l'insieme \(\displaystyle \mathbb{R}[x] \) non è altro che \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) (con l'aggiunta dell'operazione di moltiplicazione e la selezione di un particolare elemento), per altri è un sottoinsieme dell'insieme delle funzioni continue da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\). Per altri ancora è un qualsiasi insieme che soddisfa particolari proprietà universali. Si sarebbe potuto usare l'insieme \(\displaystyle (\mathbb{R}^3)^{\ast} \) (il duale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \)) oppure l'insieme delle funzioni da \(\displaystyle \mathbb{R} \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \). Ma in fin dei conti vogliamo davvero considerare diversi n-tuple, vettori righe e vettori colonna?
Nulla da dire.
Cercavo solo di "mettermi nei panni" di uno studente "alle prime armi".
Mia deformazione professionale, probabilmente.
Saluti.
Cercavo solo di "mettermi nei panni" di uno studente "alle prime armi".
Mia deformazione professionale, probabilmente.
Saluti.
La dimensione di uno spazio vettoriale non è altro che la cardinalità di una sua base. Quindi, secondo me, ne esistono infiniti.
Es:
Prendiamo $R^4$ e una sua ipotetica base formata dai vettori $L{(1,1,2,3),(1,0,3,1),(0,3,1,2)}.$
quindi la risposta è Si ? voi che ne pensate?
Es:
Prendiamo $R^4$ e una sua ipotetica base formata dai vettori $L{(1,1,2,3),(1,0,3,1),(0,3,1,2)}.$
quindi la risposta è Si ? voi che ne pensate?
Direi che dovresti chiedere al tuo/a professore/essa se considera due spazi isomorfi come uguali. Il tuo esempio non è sostanzialmente differente da quelli già presentati.
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