Spazi vettoriali
Ciao a tutti, non riuscivo a svolgere questo esercizio
siano v1 (1,2,1,0) ; v2 (4,8, k,5) ; v3 (-1,-2,3-k, k).Si determini per quali valori di k i 3 vettori somo linearmente indipendenti. Posto k=1, si determini, se possibile, un vettore w appartenente a R^4 tale chr v non appartenga (v1, v2, v3).
Nel primo punto ho trovato che sono linearmente indipendenti per tutti i numeri tranne -5 e 4
Per il quarto punto bisogna trovare un vettore linearmente indipendente da v1, v2 e v3 ponendo k=1. Riducendo i vettori con Gauss mi viene
1------2------1------0
0------0---( -3)-----5
0------0------0------6
Quindi non si possono aggiungere vettori linearmente indipendenti.
Va bene questo procedimento?? Sono andato un po ad intuito.Grazie per le risposte!!!
siano v1 (1,2,1,0) ; v2 (4,8, k,5) ; v3 (-1,-2,3-k, k).Si determini per quali valori di k i 3 vettori somo linearmente indipendenti. Posto k=1, si determini, se possibile, un vettore w appartenente a R^4 tale chr v non appartenga (v1, v2, v3).
Nel primo punto ho trovato che sono linearmente indipendenti per tutti i numeri tranne -5 e 4
Per il quarto punto bisogna trovare un vettore linearmente indipendente da v1, v2 e v3 ponendo k=1. Riducendo i vettori con Gauss mi viene
1------2------1------0
0------0---( -3)-----5
0------0------0------6
Quindi non si possono aggiungere vettori linearmente indipendenti.
Va bene questo procedimento?? Sono andato un po ad intuito.Grazie per le risposte!!!
Risposte
Per il teorema di completamento della base, se tu hai 3 vettori indipendenti in uno spazio di dimensione 4 ne puoi trovare uno che renda i 4 vettori una base.
Nel tuo caso, comunque puoi sfruttare il fatto che : \(\displaystyle \mathcal{L}\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3\} \subseteq \mathbf{w}^{\perp}\) dove \(\displaystyle \mathbf{w} = (2,-1,0,0) \) e \(\displaystyle \mathbf{w}^{\perp} = \{ \mathbf{v}\in \mathbb{R}^4 : \langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle = 0 \} \).
Con \(\displaystyle \mathcal{L}\{\mathbb{v}_1,\mathbb{v}_2,\mathbb{v}_3\}\) indico il sottospazio lineare generato da quei vettori e con \(\displaystyle \langle \mathbb{v}, \mathbb{w} \rangle \) indico il prodotto scalare classico.
Lascio a te le deduzioni finali.
Con \(\displaystyle \mathcal{L}\{\mathbb{v}_1,\mathbb{v}_2,\mathbb{v}_3\}\) indico il sottospazio lineare generato da quei vettori e con \(\displaystyle \langle \mathbb{v}, \mathbb{w} \rangle \) indico il prodotto scalare classico.
Lascio a te le deduzioni finali.
Se metto tipo ( 0,1,2,3) sulla seconda riga diventano linearmente infipendenti e ho trovato un vettore....ma si può fare questo?
Se quello è effettivamente linearmente indipendente certo che si può fare. Non ho controllato.
Grazie mille!!! 
Allora posso mettere un vettore del tipo (0, x1, x2, x3) con x1, x2, x3 numeri qualsiasi sulla seconda riga in modo che risultino linearmente indipendenti, quindi un vettore w tale che w non appartiene a《v1, v2, v3》può essere (0,6,3,6)
Allora posso mettere un vettore del tipo (0, x1, x2, x3) con x1, x2, x3 numeri qualsiasi sulla seconda riga in modo che risultino linearmente indipendenti, quindi un vettore w tale che w non appartiene a《v1, v2, v3》può essere (0,6,3,6)
"paolo1995":
Grazie mille!!!
Allora posso mettere un vettore del tipo (0, x1, x2, x3) con x1, x2, x3 numeri qualsiasi sulla seconda riga in modo che risultino linearmente indipendenti, quindi un vettore w tale che w non appartiene a《v1, v2, v3》può essere (0,6,3,6)
Non sono sicuro di avere capito.
Il vettore che ti suggerivo io era \(\displaystyle (2,-1,0,0) \). Infatti
\(\displaystyle \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & 8 & 1 & 5 \\ -1 & -2 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 90 \)
Il tuo va bene purché \(\displaystyle x_1\neq 0 \). In generale l'importante è che \(\displaystyle x_1\neq 2x_0 \). Perciò hai ampia scelta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo