Spazi vettoriali
Salve a tutti,correggetemi se sbaglio: un sottospazio è chiuso rispetto a somma e prodotto per uno scalare.
Ora non riesco a capire perchè l'origine del piano cartesiano sia un sottospazio.
Ora non riesco a capire perchè l'origine del piano cartesiano sia un sottospazio.
Risposte
Proprio perchè l'insieme $A=\{\vec{0}\}$ che contiene solo l'origine del piano ovvero il vettore nullo $(0,0)$ è chiuso rispetto a tali operazioni
$$\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\in A\hspace{2 cm}k\vec{0}=\vec{0}\in A$$
$$\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\in A\hspace{2 cm}k\vec{0}=\vec{0}\in A$$
Scusami ma qual'è la definizione precisa di chiuso?
Un insieme risulta chiuso rispetto a una data operazione se "il risultato" di tale operazione appartiene all'insieme stesso.
@FELPONE,
strano che non la conosci, di solito si affrontano tali concetti prima degli spazi vettoriali...
di solito se ne danno due, una per operazioni interne binarie e una per operazioni esterne binarie (spero che conosci almeno la definizione di operazione interna (e esterna) binaria).. comunque ecco le definizioni:
Def. (chiusura/stabilità rispetto ad una operazione interna binaria): siano dati \(\mathfrak{f}:A^2\to A\), ed \(B \subseteq A\) (con \(B \neq \emptyset\)), dicesi che \( B \) è chiuso rispetto ad \(\mathfrak{f}\) se $$\forall a,b \in B( a \mathfrak{f} b \in B ) $$
Def. (chiusura/stabilità rispetto ad una operazione esterna binaria): siano dati \(\mathfrak{g}:A\times B \to B\), ed \(C \subseteq B\) (con \(C \neq \emptyset\)), dicesi che \( C\) è chiuso rispetto ad \( \mathfrak{g} \) se $$\forall a\in A,b \in C( a \mathfrak{g} b \in C ) $$
Saluti
"FELPONE":
Scusami ma qual'è la definizione precisa di chiuso?
strano che non la conosci, di solito si affrontano tali concetti prima degli spazi vettoriali...
di solito se ne danno due, una per operazioni interne binarie e una per operazioni esterne binarie (spero che conosci almeno la definizione di operazione interna (e esterna) binaria).. comunque ecco le definizioni:Def. (chiusura/stabilità rispetto ad una operazione interna binaria): siano dati \(\mathfrak{f}:A^2\to A\), ed \(B \subseteq A\) (con \(B \neq \emptyset\)), dicesi che \( B \) è chiuso rispetto ad \(\mathfrak{f}\) se $$\forall a,b \in B( a \mathfrak{f} b \in B ) $$
Def. (chiusura/stabilità rispetto ad una operazione esterna binaria): siano dati \(\mathfrak{g}:A\times B \to B\), ed \(C \subseteq B\) (con \(C \neq \emptyset\)), dicesi che \( C\) è chiuso rispetto ad \( \mathfrak{g} \) se $$\forall a\in A,b \in C( a \mathfrak{g} b \in C ) $$
Saluti
"Cuspide83":
Proprio perchè l'insieme $A=\{\vec{0}\}$ che contiene solo l'origine del piano ovvero il vettore nullo $(0,0)$ è chiuso rispetto a tali operazioni
$$\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\in A\hspace{2 cm}k\vec{0}=\vec{0}\in A$$
Scusate ma perchè per quanto riguarda la moltiplicazione viene usato un numero k e invece nella somma viene usato lo stesso vettore 0 ?
@Felpone,
Scusate ma perchè per quanto riguarda la moltiplicazione viene usato un numero k e invece nella somma viene usato lo stesso vettore 0 ?[/quote]
applica la definizione che ho scritto sopra
Saluti
"FELPONE":
[quote="Cuspide83"]Proprio perchè l'insieme $A=\{\vec{0}\}$ che contiene solo l'origine del piano ovvero il vettore nullo $(0,0)$ è chiuso rispetto a tali operazioni
$$\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}\in A\hspace{2 cm}k\vec{0}=\vec{0}\in A$$
Scusate ma perchè per quanto riguarda la moltiplicazione viene usato un numero k e invece nella somma viene usato lo stesso vettore 0 ?[/quote]
applica la definizione che ho scritto sopra
Saluti
Ma per definirsi chiuso un insieme deve essere chiuso sia rispetto ad operazioni interne che esterne?
Poi un altro chiarimento :l'insieme dei punti sulla bisettrice è chiusa internamente rispetto alla somma perchè se sommo due punti sulla bisettrice ottengo ancora un punto sulla bisettrice,giusto?Ed è chiuso rispetto alla moltiplicazione perchè se ad esempio moltiplico un punto sulla bisettrice per un numero reale il punto risultante è ancora sulla bisettrice.Giusto?
Poi un altro chiarimento :l'insieme dei punti sulla bisettrice è chiusa internamente rispetto alla somma perchè se sommo due punti sulla bisettrice ottengo ancora un punto sulla bisettrice,giusto?Ed è chiuso rispetto alla moltiplicazione perchè se ad esempio moltiplico un punto sulla bisettrice per un numero reale il punto risultante è ancora sulla bisettrice.Giusto?
@FELPONE,
nel caso della definizione si sottospazio vettoriale deve essere chiuso/stabile sia rispetto all'operazione interna binaria sia all'operazione esterna binaria (oltre che contenere il vettore nullo)..
Saluti
P.S.=Spero che sai la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale!?
"FELPONE":
Ma per definirsi chiuso un insieme deve essere chiuso sia rispetto ad operazioni interne che esterne?
nel caso della definizione si sottospazio vettoriale deve essere chiuso/stabile sia rispetto all'operazione interna binaria sia all'operazione esterna binaria (oltre che contenere il vettore nullo)..
Saluti
P.S.=Spero che sai la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale!?
"garnak.olegovitc":
@FELPONE,
[quote="FELPONE"]Ma per definirsi chiuso un insieme deve essere chiuso sia rispetto ad operazioni interne che esterne?
nel caso della definizione si sottospazio vettoriale deve essere chiuso/stabile sia rispetto all'operazione interna binaria sia all'operazione esterna binaria (oltre che contenere il vettore nullo)..
Saluti
P.S.=Spero che sai la definizione di sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale!?[/quote]
Quindi un sottospazio vettoriale deve essere chiuso internamente rispetto la somma ed esternamente rispetto al prodotto?
@FELPONE,
certo... la definizione è la seguente:
Def.: siano dati \( V \) uno spazio vettoriale rispetto ad \( +_V\) e \( \cdot_V \), ed \( W \subseteq V \) (con \(W \neq \emptyset\)), dicesi che \( W \) è sottospazio vettoriale di \( V \) se:
$$W \mbox{ è chiuso rispetto ad}+_V \mbox{ e } W\mbox{ è chiuso rispetto ad} \cdot_V (\mbox{e } 0_V \in W ) $$ Saluti
P.S.= Tieni conto che \( 0_V \in W \) è una condizione che può essere dedotta ma male non fa se la includi nelle condizioni principali!
"FELPONE":
Quindi un sottospazio vettoriale deve essere chiuso internamente rispetto la somma ed esternamente rispetto al prodotto?
certo... la definizione è la seguente:
Def.: siano dati \( V \) uno spazio vettoriale rispetto ad \( +_V\) e \( \cdot_V \), ed \( W \subseteq V \) (con \(W \neq \emptyset\)), dicesi che \( W \) è sottospazio vettoriale di \( V \) se:
$$W \mbox{ è chiuso rispetto ad}+_V \mbox{ e } W\mbox{ è chiuso rispetto ad} \cdot_V (\mbox{e } 0_V \in W ) $$ Saluti
P.S.= Tieni conto che \( 0_V \in W \) è una condizione che può essere dedotta ma male non fa se la includi nelle condizioni principali!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo