Spazi topologici normali
Se $X$ è uno spazio topologico normale e $X_1$ e $X_2$ sono due sottoinsiemi disgiunti tali che nessuno dei due contenga i punti di accumulazione dell'altro, allora esistono due aperti disgiunti $W_1,W_2$ tali che $X_1 \subseteq W_1$ e $X_2 \subseteq W_2$?
Yuri
Yuri
Risposte
In genere uno spazio si dice normale (o $T_4$) se è $T_1$ e se per ogni coppia di chiusi disgiunti $C_1,C_2$ esistono due aperti disgiunti $A_1,A_2$, il primo contenente $C_1$ e il secondo contentente $C_2$.
Con questa definizione, la proprietà che vuoi dimostrare è facile; basta prendere le chiusure di $W_1,W_2$ e considerare i loro aperti separanti.
Se la tua definizione di spazio normale è data attraverso la funzione di Uryshon (una funzione continua che vale $0$ su un chiuso e $1$ sull'altro), la dimostrazione passa attraverso il Lemma di Uryshon, che sostanzialmente dimostra l'equivalenza delle due definizioni.
Tuttavia, se hai una funzione che separa la chiusura di $W_1$ dalla chiusura di $W_2$, è facile trovare i due aperti separanti (hint: attraverso una funzione continua, preimmagine di un aperto è aperta).
Con questa definizione, la proprietà che vuoi dimostrare è facile; basta prendere le chiusure di $W_1,W_2$ e considerare i loro aperti separanti.
Se la tua definizione di spazio normale è data attraverso la funzione di Uryshon (una funzione continua che vale $0$ su un chiuso e $1$ sull'altro), la dimostrazione passa attraverso il Lemma di Uryshon, che sostanzialmente dimostra l'equivalenza delle due definizioni.
Tuttavia, se hai una funzione che separa la chiusura di $W_1$ dalla chiusura di $W_2$, è facile trovare i due aperti separanti (hint: attraverso una funzione continua, preimmagine di un aperto è aperta).
"Pappappero":
In genere uno spazio si dice normale (o $ T_4 $) se è $ T_1 $ e se per ogni coppia di chiusi disgiunti $ C_1,C_2 $ esistono due aperti disgiunti $ A_1,A_2 $, il primo contenente $ C_1 $ e il secondo contentente $ C_2 $.
Con questa definizione, la proprietà che vuoi dimostrare è facile; basta prendere le chiusure di $ W_1,W_2 $ e considerare i loro aperti separanti.
Esatto la mia definizione di spazio normale è proprio quella. Però io so solo che $X_1$ e $X_2$ sono disgiunti e nessuno dei due contiene i punti di accumulazione dell'altro. Nessuno però mi garantisce che questi insiemi siano chiusi, né che le chiusure di entrambi gli insiemi abbiano intersezione vuota (se così non fosse non potrei prendere i loro aperti separanti).
prova a dimostrare che le due chiusure sono disgiunte!
"Pappappero":
prova a dimostrare che le due chiusure sono disgiunte!
Non ci siamo capiti... sto dicendo appunto che io non so (e non posso sapere) a priori se le chiusure hanno intersezione non vuota. Faccio un esempio: consideriamo $X=\mathbb{R}$ (che con la topologia euclidea è uno spazio normale) e i due sottoinsiemi $X_1=(-1,0)$ e $X_2=(0,1)$. Sono evidentemente disgiunti e nessuno dei due contiene i punti di accumulazione dell'altro. Ciononostante le rispettive chiusure non sono disgiunte! Questo però non significa che non esistano due aperti disgiunti $W_1$ e $W_2$ che contengano rispettivamente $X_1$ e $X_2$ (è sufficiente considerare $W_1=(-1,0)$ e $W_2=(0,1)$). Ecco... io vorrei, con un ragionamento generale (supponendo solamente che $X$ sia uno spazio topologico normale per l'appunto), trovare due aperti disgiunti $W_1$ e $W_2$ che contengano $X_1$ e $X_2$, sapendo solamente che $X_1$ e $X_2$ sono disgiunti e nessuno dei due contiene punti di accumulazione dell'altro.
Chiedo scusa...stavo pensando a una cosa sbagliata. Mi pareva che se $X_1$ non contiene i punti di accumulazione di $X_2$ e viceversa allora le due chiusure sono disgiunte, ma evidentemente non e' vero.
Pero' possiamo dire che i punti che stanno nell'intersezione delle due chiusure, sono di accumulazione per entrambi gli insiemi e non sono in nessuno dei due insiemi. Chiamiamo $C$ l'intersezione delle due chiusure, e consideriamo $A = X - C$, che e' un aperto di $X$. Se riuscissimo a dimostrare che $A$ e' normale, avremmo vinto, perche' a quel punto le chiusure di $X_1,X_2$ in $A$ sarebbero disgiunte e si potrebbero trovare gli aperti separanti in $A$ (che sarebbero anche aperti in $X$).
Tuttavia in generale la normalita' non passa ai sottospazi e non so se in questo caso particolare la cosa puo' valere. Certamente se $X$ e' metrico, questo argomento funziona, perche' sottospazi di spazi metrici sono metrici e dunque normali. In generale, non credo.
Pero' possiamo dire che i punti che stanno nell'intersezione delle due chiusure, sono di accumulazione per entrambi gli insiemi e non sono in nessuno dei due insiemi. Chiamiamo $C$ l'intersezione delle due chiusure, e consideriamo $A = X - C$, che e' un aperto di $X$. Se riuscissimo a dimostrare che $A$ e' normale, avremmo vinto, perche' a quel punto le chiusure di $X_1,X_2$ in $A$ sarebbero disgiunte e si potrebbero trovare gli aperti separanti in $A$ (che sarebbero anche aperti in $X$).
Tuttavia in generale la normalita' non passa ai sottospazi e non so se in questo caso particolare la cosa puo' valere. Certamente se $X$ e' metrico, questo argomento funziona, perche' sottospazi di spazi metrici sono metrici e dunque normali. In generale, non credo.
Già... questo generalizzato significa che se $X$ è completamente normale allora l'asserto è vero. Ma se $X$ è solo normale?
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