Spazi topologici metrizzabili
Una domanda abbastanza veloce riguardante i fondamenti di topologia.
Posso affermare che: $(X,\tau)$ spazio topologico è metrizzabile $iff$ $\forall x,y\in X \exists A_1, A_2$ aperti tali che $x\in A_1, y \in A_2, A_1 cap A_2 = \emptyset$?
È realmente una condizione necessaria e sufficiente o ci sono altre condizioni da tenere in considerazione?
Posso affermare che: $(X,\tau)$ spazio topologico è metrizzabile $iff$ $\forall x,y\in X \exists A_1, A_2$ aperti tali che $x\in A_1, y \in A_2, A_1 cap A_2 = \emptyset$?
È realmente una condizione necessaria e sufficiente o ci sono altre condizioni da tenere in considerazione?
Risposte
Mmmmmmmmm.... mi pare che tu stia affermando che ogni spazio metrizzabile è di Hausdorff e viceversa. Ora, sicuramente uno spazio metrico è di Hausdorff, ma non mi sembra che sia vero anche il viceversa. Forse oltre alla proprietà di separazione devi supporre anche che lo spazio sia regolare (mi pare che sia il teorema di Smirnov a dire questo).
Penso di aver compreso la cosa... esiste un controesempio semplice di spazio di Hausdorff che non è metrizzabile?
Mi cogli impreparato se devo essere sincero! 
Ci penso su e ti faccio sapere! (Adesso sono stanco morto!)
Ci penso su e ti faccio sapere! (Adesso sono stanco morto!)
Ho pensato che la seguente costruzione (che non è assolutamente farina del mio sacco! Si può trovare ad esempio sul Sernesi 2, nel capitolo sulle proprietà di separabilità) fornisce un esempio.
Si tratta sostanzialmente di aumentare la finezza della topologia di $RR$ perché l'insieme ${1, 1/2, ..., 1/n, ...}$ (senza lo 0!) sia chiuso. Quindi diciamo $B$ la famiglia:
$B={(a, b), (c, d)-{1, 1/2, ..., 1/n, ...}\ :\ a,b,c,d\inRR}$.
Chiamiamo $tau$ la topologia generata da $B$. (Se non mi sbaglio $B$ è una base di $tau$). Osserviamo che questa topologia è più fine di quella euclidea, nel senso che ogni aperto euclideo è ancora un aperto in $(RR, tau)$. Per costruzione abbiamo che ${1, 1/2, ..., 1/n, ...}$ è chiuso (il complementare è aperto), e anche ${0}$ è chiuso perché lo era già in topologia euclidea. Sempre per lo stesso motivo questa topologia è di Hausdorff (se potevamo separare due punti con aperti euclidei, questi separeranno i punti anche nella nuova topologia).
Ma questa topologia non è metrizzabile. Se lo fosse, $(RR, tau)$ dovrebbe essere uno "spazio normale" nel senso che dati due chiusi disgiunti $F_1, F_2$ devono esistere due aperti disgiunti $U_1, U_2$ che separano $F_1, F_2$ ($F_1\subU_1, F_2\subU_2, F_1nnF_2=\emptyset$). Ma questo non mi pare si possa fare con i chiusi disgiunti ${0}, {1, 1/2, 1/3, ...}$.
Si tratta sostanzialmente di aumentare la finezza della topologia di $RR$ perché l'insieme ${1, 1/2, ..., 1/n, ...}$ (senza lo 0!) sia chiuso. Quindi diciamo $B$ la famiglia:
$B={(a, b), (c, d)-{1, 1/2, ..., 1/n, ...}\ :\ a,b,c,d\inRR}$.
Chiamiamo $tau$ la topologia generata da $B$. (Se non mi sbaglio $B$ è una base di $tau$). Osserviamo che questa topologia è più fine di quella euclidea, nel senso che ogni aperto euclideo è ancora un aperto in $(RR, tau)$. Per costruzione abbiamo che ${1, 1/2, ..., 1/n, ...}$ è chiuso (il complementare è aperto), e anche ${0}$ è chiuso perché lo era già in topologia euclidea. Sempre per lo stesso motivo questa topologia è di Hausdorff (se potevamo separare due punti con aperti euclidei, questi separeranno i punti anche nella nuova topologia).
Ma questa topologia non è metrizzabile. Se lo fosse, $(RR, tau)$ dovrebbe essere uno "spazio normale" nel senso che dati due chiusi disgiunti $F_1, F_2$ devono esistere due aperti disgiunti $U_1, U_2$ che separano $F_1, F_2$ ($F_1\subU_1, F_2\subU_2, F_1nnF_2=\emptyset$). Ma questo non mi pare si possa fare con i chiusi disgiunti ${0}, {1, 1/2, 1/3, ...}$.
Grazie mille
Ci sono altri due esempi di spazi T2 ma non metrizzabili, perchè non sono T4.
Non è farina del mio sacco (per citare dissonance).
Uno è questo: sia $mathbb{J}=RR\\QQ$, definisco su $RR$ la topologia a partire dal sistema di intorni così fatto
$forallx\inRR$ si ha che l'intorno è ${{x}\uu\quad]x-delta,x+delta[\nnQQ):\quad delta>0}$
Detto $X$ questo nuovo spazio, esso è di Hausdorff ma non T3 (la verifica è lunghetta e me la risparmio).
Non è farina del mio sacco (per citare dissonance).
Uno è questo: sia $mathbb{J}=RR\\QQ$, definisco su $RR$ la topologia a partire dal sistema di intorni così fatto
$forallx\inRR$ si ha che l'intorno è ${{x}\uu\quad]x-delta,x+delta[\nnQQ):\quad delta>0}$
Detto $X$ questo nuovo spazio, esso è di Hausdorff ma non T3 (la verifica è lunghetta e me la risparmio).
@Steven: Questa topologia del tuo ultimo post è la stessa di quella generata dai soli intervalli razionali?
($B={(a, b)nnQQ\ :\ a, b\inRR}$). Penso di si ma non uso mai i sistemi di intorni quindi non vorrei sparare fesserie...
Che ne pensi?
($B={(a, b)nnQQ\ :\ a, b\inRR}$). Penso di si ma non uso mai i sistemi di intorni quindi non vorrei sparare fesserie...
Che ne pensi?
@Dissonance
Le topologie non sono le stesse. Basta osservare che se $x\inRR\\QQ$ allora l'unico aperto che contiene $x$ è $RR$, cosa che non è vera nella topologia di Steven.
Le topologie non sono le stesse. Basta osservare che se $x\inRR\\QQ$ allora l'unico aperto che contiene $x$ è $RR$, cosa che non è vera nella topologia di Steven.
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