Spazi topologici e sottoinsiemi chiusi rispetto ad una metrica
Ciao a tutti i matematici del forum. Premetto che sono "nuovo" ma da quando ho iniziato a fare l'università di matematica consulto abitualmente il forum trovando sempre delle soluzioni ai miei problemi. Purtroppo per mancanza di tempo e di necessita non mi sono mai iscritto fino ad oggi, momento in cui non sono riuscito a trovare un topic che risolvesse un mio problema (non linciatemi per questo).
Devo risolvere questo esercizio di geometria 2:
Dato uno spazio topologico $X$, si consideri l'insieme $F = \{ f : X \to [0,1] \}$ ed il suo sottoinsieme $C=\{f \in F | f $ è continua$\}$. Provare che l'equazione $d(f,g) = $sup$ |f(x) - g(x)| $ definisce una metrica rispetto alla quale $C$ risulta chiuso in $F$.
Innanzitutto scusate ma non sono riuscito a scrivere bene il "sup" calcolato al variare di $x \in X$.
Quello che sono riuscito a fare è che:
1- dimostrare che effettivamente quella è una metrica (molto banale);
2- per dimostrare che è chiuso ho pensato di far vedere che vale $C = \bar{C}$, intendendo con $\bar{C}$ la chiusura di $C$, mostrando la doppia inclusione;
2a- l'inclusione $C\subset\bar{C}$ è banale;
2b- Sull'altra inclusione ho dei problemi: per mostrarla devo far vedere ad esempio che $\bar{C} - C = \emptyset$ procedendo per assurdo in questo modo:
Sia $h \in \bar{C}$, cioè significa che, per definizione di chiusura, $\forall B(h,\epsilon) \exists g \in C $tale che $g \in B(h,\epsilon) \cap C $.
Devo dimostrare che se esiste $h$ definita in questo modo allora $h \in C$ e procederei ponendo per assurdo che $h \notin C$ solo che ora non mi viene niente in mente per arrivare ad un assurdo... Qualche idea? So che molto probabilmente sono stato molto poco chiaro, ma il mio professore è altrettanto poco chiaro. RIngrazio tutti in anticipo... buono scervellamento per la comprensione di quello che ho scritto
Devo risolvere questo esercizio di geometria 2:
Dato uno spazio topologico $X$, si consideri l'insieme $F = \{ f : X \to [0,1] \}$ ed il suo sottoinsieme $C=\{f \in F | f $ è continua$\}$. Provare che l'equazione $d(f,g) = $sup$ |f(x) - g(x)| $ definisce una metrica rispetto alla quale $C$ risulta chiuso in $F$.
Innanzitutto scusate ma non sono riuscito a scrivere bene il "sup" calcolato al variare di $x \in X$.
Quello che sono riuscito a fare è che:
1- dimostrare che effettivamente quella è una metrica (molto banale);
2- per dimostrare che è chiuso ho pensato di far vedere che vale $C = \bar{C}$, intendendo con $\bar{C}$ la chiusura di $C$, mostrando la doppia inclusione;
2a- l'inclusione $C\subset\bar{C}$ è banale;
2b- Sull'altra inclusione ho dei problemi: per mostrarla devo far vedere ad esempio che $\bar{C} - C = \emptyset$ procedendo per assurdo in questo modo:
Sia $h \in \bar{C}$, cioè significa che, per definizione di chiusura, $\forall B(h,\epsilon) \exists g \in C $tale che $g \in B(h,\epsilon) \cap C $.
Devo dimostrare che se esiste $h$ definita in questo modo allora $h \in C$ e procederei ponendo per assurdo che $h \notin C$ solo che ora non mi viene niente in mente per arrivare ad un assurdo... Qualche idea? So che molto probabilmente sono stato molto poco chiaro, ma il mio professore è altrettanto poco chiaro. RIngrazio tutti in anticipo... buono scervellamento per la comprensione di quello che ho scritto
Risposte
L'altra inclusione si chiama Teorema di continuità del limite. E' un argomento che in genere si studia nel secondo/terzo semestre di analisi (quando si comincia a parlare di convergenza uniforme...che è proprio la convergenza nella distanza del tuo problema).
Ci sono un po' di informazioni qui, e una dimostrazione di gugo82 qui.
In generale, in topologia è molto conveniente mostrare che i sottoinsimi sono chiusi usando la cosiddetta chiusura per successioni (se hai una successione convergente interamente contenuta nel tuo sottoinsieme, allora anche il limite sta nel tuo sottoinsime) - credo servano delle ipotesi molto deboli affinché questa proprietà sia equivalente alla chiusura vera e propria. Al 100% vale in spazi metrici. In spazi topologici qualsiasi credo serva qualche assioma di numerabilità - sono quasi sicuro non servano assiomi di separazione.
Ci sono un po' di informazioni qui, e una dimostrazione di gugo82 qui.
In generale, in topologia è molto conveniente mostrare che i sottoinsimi sono chiusi usando la cosiddetta chiusura per successioni (se hai una successione convergente interamente contenuta nel tuo sottoinsieme, allora anche il limite sta nel tuo sottoinsime) - credo servano delle ipotesi molto deboli affinché questa proprietà sia equivalente alla chiusura vera e propria. Al 100% vale in spazi metrici. In spazi topologici qualsiasi credo serva qualche assioma di numerabilità - sono quasi sicuro non servano assiomi di separazione.
Ciao e grazie per la risposta. Questo esercizio è stato consegnato dal professore prima di parlare di assiomi di numerabilità e di separazione... Quindi credo che possa essere fatto senza utilizzare questi strumenti. Detto questo ora vado a vedermi quei due link. Nel caso dovessero esserci problemi riscrivo.
Eccomi di nuovo qui. Ho letto e riletto le pagine da te linkate, ma non riesco a trovare la quadra per poter applicare quella dimostrazione al mio caso. O meglio ho scritto questa cosa ma non so se è giusto:
Sia $f \in \bar{C}$. Devo far vedere che $f \in C$.
Si ha che: (1) $f in bar{C} \Leftrightarrow \forall B(f,\epsilon) \quad \exists h in B(f,\epsilon)\cap C \quad ( \Leftrightarrow \sup_{x in X} | f(x) - h(x) | \le \epsilon $ (*) $)$
Sicuramente deve essere che $h in C$ quindi $h$ è continua.
Siccome la proprietà (1) vale $\forall \epsilon \ge 0$, allora posso considerare $h_n(x)$ (o forse è meglio indicarla con $h_\epsilon$ ???) la successione di funzioni $h_n \in B(f,\epsilon) \cap C$ al variare di $\epsilon$.
E ora?
Sia $f \in \bar{C}$. Devo far vedere che $f \in C$.
Si ha che: (1) $f in bar{C} \Leftrightarrow \forall B(f,\epsilon) \quad \exists h in B(f,\epsilon)\cap C \quad ( \Leftrightarrow \sup_{x in X} | f(x) - h(x) | \le \epsilon $ (*) $)$
Sicuramente deve essere che $h in C$ quindi $h$ è continua.
Siccome la proprietà (1) vale $\forall \epsilon \ge 0$, allora posso considerare $h_n(x)$ (o forse è meglio indicarla con $h_\epsilon$ ???) la successione di funzioni $h_n \in B(f,\epsilon) \cap C$ al variare di $\epsilon$.
E ora?
"Pappappero":In spazi topologici \(\displaystyle\mathrm{N}_1\) i concetti di chiusura e chiusura per successioni sono equivalenti.
...In spazi topologici qualsiasi credo serva qualche assioma di numerabilità - sono quasi sicuro non servano assiomi di separazione.
"StefMath":Veramente \(\displaystyle h\) è continua per assunzione!
...Sicuramente deve essere che $ h in C $ quindi $ h $ è continua...
Fissa un punto \(\displaystyle x_0\in X\) e dimostra che ivi \(\displaystyle f\) è continua, mimando la dimostrazione di gugo!
Allora seguendo il consiglio ho scritto questo:
Sia per assurdo $f \in \bar{C} - C$. Per definizione $\forall B(f,\epsilon), B(f,\epsilon) \cap C != \emptyset$ (1). Quindi $\exists g \in C \quad :\quad g \in B(f,\epsilon) \cap C$.
Siccome (1) vale $\forall \epsilon > 0$, considero $\epsilon = \frac{1}{n}$ e la successione ${g_n}_{n in \mathbf{N}} \in C \quad:\quad \text{sup}_{x \in X} \quad |g_n -f| \quad \le \frac{1}{n}$. Allora $g_n \Rightarrow f \in \bar{C} - C$ (2), ovvero $g_n$ converge uniformemente ad $f$.
Sia ora $x_{0} \in X$. Per la convergenza uniforme si ha che fissato $\eta > 0 \quad \exists v_{\eta} : |g_n(x) - f(x)|\le \eta \quad (\forall x)$.
Scegliendo quindi $n > v_{\eta} \forall x \in X $ risulta che
\[
|f(x) - f(x_0) | \le |f(x) - g_n(x)| + |g_n(x) - g_n(x_0)| + |g_n(x_0) - f(x_0)|
\]
Il primo e il terzo valore assoluto del secondo membro lo maggioro con $\frac{\eta}{4}$ ottenendo
\[
|f(x) - f(x_0) | \le |g_N(x) - g_N(x_0)| + \frac{\eta}{2} \qquad \forall N \ge n
\]
Ma $g_n$ è continua in $x_0$ ed in corrispondenza di $\frac{\eta}{2} \quad \exists \delta > 0 : D_X(x,x_0) \le \delta \Rightarrow |g_n(x) - g_n(x_0)|\le \frac{\eta}{2}$. (dove con $D_X$ ho indicato la distanza definita sull'insieme $X$
Allora si ha che $|f(x) - f(x_0)| \le \eta$. Quindi $f$ è continua, ovvero $f \in C$, ma questo è assurdo perchè avevo ottenuto che $f \in \bar{C} - C$ (da (2)). Quindi in definitiva $f \in C$ che era quello che volevo dimostrare.
Vi prego ditemi che è giusto così.
Sia per assurdo $f \in \bar{C} - C$. Per definizione $\forall B(f,\epsilon), B(f,\epsilon) \cap C != \emptyset$ (1). Quindi $\exists g \in C \quad :\quad g \in B(f,\epsilon) \cap C$.
Siccome (1) vale $\forall \epsilon > 0$, considero $\epsilon = \frac{1}{n}$ e la successione ${g_n}_{n in \mathbf{N}} \in C \quad:\quad \text{sup}_{x \in X} \quad |g_n -f| \quad \le \frac{1}{n}$. Allora $g_n \Rightarrow f \in \bar{C} - C$ (2), ovvero $g_n$ converge uniformemente ad $f$.
Sia ora $x_{0} \in X$. Per la convergenza uniforme si ha che fissato $\eta > 0 \quad \exists v_{\eta} : |g_n(x) - f(x)|\le \eta \quad (\forall x)$.
Scegliendo quindi $n > v_{\eta} \forall x \in X $ risulta che
\[
|f(x) - f(x_0) | \le |f(x) - g_n(x)| + |g_n(x) - g_n(x_0)| + |g_n(x_0) - f(x_0)|
\]
Il primo e il terzo valore assoluto del secondo membro lo maggioro con $\frac{\eta}{4}$ ottenendo
\[
|f(x) - f(x_0) | \le |g_N(x) - g_N(x_0)| + \frac{\eta}{2} \qquad \forall N \ge n
\]
Ma $g_n$ è continua in $x_0$ ed in corrispondenza di $\frac{\eta}{2} \quad \exists \delta > 0 : D_X(x,x_0) \le \delta \Rightarrow |g_n(x) - g_n(x_0)|\le \frac{\eta}{2}$. (dove con $D_X$ ho indicato la distanza definita sull'insieme $X$
Allora si ha che $|f(x) - f(x_0)| \le \eta$. Quindi $f$ è continua, ovvero $f \in C$, ma questo è assurdo perchè avevo ottenuto che $f \in \bar{C} - C$ (da (2)). Quindi in definitiva $f \in C$ che era quello che volevo dimostrare.
Vi prego ditemi che è giusto così.
Non c'era bisogno di ricorrere alla reductio ad absurdum!
Poi il resto va bene, se parti dalla ipotesi più semplice che \(\displaystyle f\in\overline{C}\).
"StefMath":Questa è la definizione corretta!
...Sia per assurdo $f \in \bar{C} - C$. Per definizione $\forall\epsilon>0, B(f,\epsilon) \cap C != \emptyset$...
"StefMath":Secondo le ipotesi dovresti maggiorarli con \(\displaystyle\eta\).
...Il primo e il terzo valore assoluto del secondo membro lo maggioro con $ \frac{\eta}{4} $...
Poi il resto va bene, se parti dalla ipotesi più semplice che \(\displaystyle f\in\overline{C}\).
Scusate il ritardo, pensavo di aver risposto invece non era così. Grazie mille a tutti per l'aiuto che mi avete dato!
Prego, di nulla!
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