Spazi topologici di seconda categoria
Ciao, amici! Data la definizione "Uno spazio topologico $X$ si dice di prima categoria se è unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi aventi interno vuoto. Altrimenti $X$ si dice di seconda categoria" dice il mio testo (Sernesi, Geometria II, cap. 3, §10, es. 10) che "uno spazio topologico $X$ è di seconda categoria se e solo se l'intersezione di una qualsiasi famiglia numerabile di insiemi aperti densi è non vuota".
Dimostrerei questa cosa osservando che, se $X$ è di prima categoria, cioè se \(X=\bigcup_{j\in J} K_j\) dove $J$ è numerabile e $K_j$ è un chiuso con interno vuoto (del tutto equivalente ad un sottoinsieme di $X$ che coincide con la propria frontiera, direi), allora \(X\setminus\bigcup_{j\in J} K_j=\bigcap_{j\in J}(X\setminus K_j)\) è l'intersezione di una famiglia numerabile di aperti densi \(X\setminus K_j\).
Viceversa mi pare che, se esiste una famiglia numerabile di aperti densi \(\{U_j\subset X:\bar{U_j}=X,j\in J\}\), con $J$ numerabile, tali che \(\bigcap_{j\in J}U_j=\emptyset\), allora \(X=X\setminus\bigcap_{j\in J}U_j=\bigcup_{j\in J}(X\setminus U_j)\) dove \(X\setminus U_j\) è appunto uno dei numerabili chiusi con interno vuoto la cui unione è $X$, perciò di prima categoria e non di seconda.
Chiederei ai gentili lettori del forum se questa mia dimostrazione è corretta e inoltre se è giusto (mi sembra ovvio, ma normalmente quando qualcosa mi sembra ovvio è perché mi sfugge qualcosa...
) quindi concludere che, se $X$ non contiene alcuna famiglia numerabile di insiemi aperti densi, allora è necessariamente di seconda categoria...
Grazie di cuore a tutti!!!
Dimostrerei questa cosa osservando che, se $X$ è di prima categoria, cioè se \(X=\bigcup_{j\in J} K_j\) dove $J$ è numerabile e $K_j$ è un chiuso con interno vuoto (del tutto equivalente ad un sottoinsieme di $X$ che coincide con la propria frontiera, direi), allora \(X\setminus\bigcup_{j\in J} K_j=\bigcap_{j\in J}(X\setminus K_j)\) è l'intersezione di una famiglia numerabile di aperti densi \(X\setminus K_j\).
Viceversa mi pare che, se esiste una famiglia numerabile di aperti densi \(\{U_j\subset X:\bar{U_j}=X,j\in J\}\), con $J$ numerabile, tali che \(\bigcap_{j\in J}U_j=\emptyset\), allora \(X=X\setminus\bigcap_{j\in J}U_j=\bigcup_{j\in J}(X\setminus U_j)\) dove \(X\setminus U_j\) è appunto uno dei numerabili chiusi con interno vuoto la cui unione è $X$, perciò di prima categoria e non di seconda.
Chiederei ai gentili lettori del forum se questa mia dimostrazione è corretta e inoltre se è giusto (mi sembra ovvio, ma normalmente quando qualcosa mi sembra ovvio è perché mi sfugge qualcosa...
) quindi concludere che, se $X$ non contiene alcuna famiglia numerabile di insiemi aperti densi, allora è necessariamente di seconda categoria...Grazie di cuore a tutti!!!
Risposte
Corrette le due contropositive. Certamente se non esiste nessun aperto denso, non puo' nemmeno esistere un chiuso con inteno vuoto.
"DavideGenova":Se può essere utile a qualcuno, dato che io questi nomi li trovo pesanti:
..."Uno spazio topologico $X$ si dice di prima categoria se è unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi aventi interno vuoto. Altrimenti $X$ si dice di seconda categoria"...
- [*:2yc9ymd4] un insieme la cui chiusura ha interno vuoto lo si definisce denso in nessun luogo;[/*:m:2yc9ymd4][*:2yc9ymd4] un insieme unione al più numerabile di insiemi densi in nessun luogo si definisce magro; [/*:m:2yc9ymd4][*:2yc9ymd4] uno spazio topologico privo di insiemi aperti magri si definisce spazio di Baire.[/*:m:2yc9ymd4][/list:u:2yc9ymd4]
\(+\infty\) grazie a tutti e due!!!
Dire che sei esagerato è un'inezia!...
No.
L'aiuto che persone come te e regim mi date è non sai quanto prezioso per me. Se mi iscriverò a una facoltà scientifica e, da studente lavoratore non frequentante o quasi, dirò che non è vero che ho studiato da solo, ma che ho avuto degli ottimi insegnanti.
L'aiuto che persone come te e regim mi date è non sai quanto prezioso per me. Se mi iscriverò a una facoltà scientifica e, da studente lavoratore non frequentante o quasi, dirò che non è vero che ho studiato da solo, ma che ho avuto degli ottimi insegnanti.
Se ti piace la matematica allora iscriviti alla facolta' di matematica, ad ingegneria la matematica si fa spesso molto male, come disse il grande Ennio De Giorgi, "la separazione dei bienni nelle facolta' scientifiche, ha determintato una perdita netta di potenziali valenti matematici", il De Giorgi stesso scelse ingegneria per poi cambiare a matematica. C'e' pure da dire che gli strumenti matematici necessari agli ingegneri sono di tale complessita' che non posso essere appresi tutti nell'arco di un biennio, nemmeno selezionando gli argomenti, quindi e' chiaro che spesso ci troviamo di fronte a pappa pronta, malgrado cio', ritengo sia stato un errore la separazione dei bienni, almeno le basi potevano essere apprese come cristo comanda, invece spesso nemmeno quello, e ora meno che mai, a meno di non avere particolari prof che adottano pure i migliori testi sui principi, tra i quali ottimi di autori italiani, In bocca al lupo.
Grazie anche per i consigli regim!!! Mmh... in effetti matematica non mi dispiacerebbe proprio...
Comunque, prima, preferisco farmi una certa base, in modo da non pagare tasse universitarie per varie ere geologiche...
Comunque, prima, preferisco farmi una certa base, in modo da non pagare tasse universitarie per varie ere geologiche...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo