Spazi, sottospazi vettoriali ed applicazioni lineari
Salve a tutti, ho delle difficoltà di comprensione per quanto riguarda li spazi e sottospazi vettoriali e le applicazioni lineari che vorrei chiarire:
1) Se ho capito bene uno Spazio vettoriale è un insieme in cui è possibile eseguire somma e moltiplicazione per scalare. Quindi R^n è uno spazio vettoriale? Se potreste fornirmi altri esempi per capire meglio...
2)Non ho capito la definizione di sottospazio vettoriale, o meglio non ho chiaro come riconoscerne uno.Se potreste farmi vedere un esempio numerico ciò mi aiuterebbe.
3)Come faccio a dimostrare che un'applicazione è lineare? Se potete chiarimelo anche con un esempio numerico semplice ve ne sarei grato.
Vi ringrazio anticipatamente.
1) Se ho capito bene uno Spazio vettoriale è un insieme in cui è possibile eseguire somma e moltiplicazione per scalare. Quindi R^n è uno spazio vettoriale? Se potreste fornirmi altri esempi per capire meglio...
2)Non ho capito la definizione di sottospazio vettoriale, o meglio non ho chiaro come riconoscerne uno.Se potreste farmi vedere un esempio numerico ciò mi aiuterebbe.
3)Come faccio a dimostrare che un'applicazione è lineare? Se potete chiarimelo anche con un esempio numerico semplice ve ne sarei grato.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
ok, ti ringrazio ma il mio problema è che non capisco come poterli trascrivere sul forum, per esempio quali sono i comandi per scrivere un vettore in colonna?
1) Per definire uno spazio vettoriale hai bisogno di un insieme V e un campo K. L'insieme V è definito spazio vettoriale sul campo K quando è assegnata:
- -Un'operazione interna in V (di somma), rispetto alla quale è gruppo abeliano e che agisce in questo modo:
$+: VxV \to V$
Cioè a coppie di elementi dell'insieme V associa ancora un elemento di V.
-Un'operazione esterna a coefficienti in K, chiamata prodotto di uno scalare per un vettore:
$*: KxV \to V$
Cioè, ad una coppia costituita da un elemento del campo K e da un elemento dell'insieme V, associa ancora un elemento di V.
Un esempio di spazio vettoriale è lo spazio vettoriale numerico di ordine 2, ovveroo lo spazio vettoriale costituito dall'insieme $K^2$ sul campo $K$
Siano quindi $(x_1,x_2)$ e $(y_1,y_2)$ elementi di $K^2$
Per quanto riguarda la somma, vedrai che:
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$ La loro somma è ancora un vettore appartenente a $K^2$.
Per quanto riguarda il prodotto, sia $h$ uno scalare appartenente al campo K:
$h*(x_1,x_2)= (h*x_1,h*x_2)$ Questo vettore ancora appartiene a $K^2$.
Tutto ciò significa che $K^2$ è uno spazio vettoriale sul campo $K$[/list:u:1bbi7fpj]
2) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. Un sottospazio vettoriale W di V, non è altro che un sottoinsieme di V, che è possibili strutturare a spazio vettoriale. Cioè deve risultare chiuso rispetto alla somma, e chiuso rispetto al prodotto di uno scalare per un vettore.
In termini generici:
- W è sottospazio vettoriale di V $iff AAu in W, AAv in W => u+v in W; AAh in K, AAu in W => h*u in W$
Esempi di sottospazi vettoriali:
-Le matrici diagonali, superiormente triangolari, inferiormente triangolari, simmetriche, antisimmetriche.
-Lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a un fissato grado h
-La generica retta del piano passante per un punto O[/list:u:1bbi7fpj]
3)Siano V e V' spazi vettoriali su uno stesso campo K. Sia $f: V \to V'$ una generica applicazione tra i due spazi.
- Tale applicazione è lineare $iff AAu,v in V, f(u)+f(v)=f(u+v) ; AAh in K, AAu in V, f(h*u)=h*f(u)$[/list:u:1bbi7fpj]
Spero di essere stato abbastanza chiaro e comprensibile
Rispondendo a Target90,, riguardo alla tua risposta alla mia pirma domanda:
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$ la loro somma appartiene ancora a $K^2$.
Non sarebbe appartenuta ad esso se il grado del polinomio fosse stato per esempio di secondo o terzo grado se forse ho capito?
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$ la loro somma appartiene ancora a $K^2$.
Non sarebbe appartenuta ad esso se il grado del polinomio fosse stato per esempio di secondo o terzo grado se forse ho capito?
"Target_90":
Per quanto riguarda la somma, vedrai che:
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$ La loro somma è ancora un vettore appartenente a $K^2$.
Sì ma sei tu che definisci la somma tra due elementi di $K^2$ in quel modo,
così come il prodotto di un elemento di $K^2$ per un elemento di $K$; dopo che hai
definito queste operazioni, puoi dire che $K^2$ assume una struttura di spazio vettoriale
sul campo $K$, non è che sommando $(x_1,x_2)$ e $(y_1,y_2)$ "si vede che la somma è proprio pari a..."...
Stesso discorso per il prodotto di un elemento di $K^2$ per un elemento di $K$...
Sei tu che definisci le operazioni che rendono $K^2$ uno spazio vettoriale.
"Alexiei":
$(x_1,x_2)+(y_1,y_2)=(x_1+y_1,x_2+y_2)$ la loro somma appartiene ancora a $K^2$.
Non sarebbe appartenuta ad esso se il grado del polinomio fosse stato per esempio di secondo o terzo grado se forse ho capito?
Quale polinomio?
Per quanto riguarda li spazi vettoriali forse ci sono.
Ma sui sottospazi e le applicazioni lineari ancora traballo.
1) Lo Span non è altro che l'insieme delle combinazioni lineari degli elementi di uno spazio vettoriale giusto?
2) Innanzitutto non riesco a capire come verificare che un insieme sia sottospaziovettoriale di un altro, ad esempio :
a)
sia W = $\{$ $((x),(y))$ $in$ $R^2$ | y= $e^x$ - 1 $\}$
W non è un sottospazio vettoriale di $R^2$;
Non capisco come mai, una prima ipotesi è che ho fatto è perchè esso non contiene il vettore nullo. Ma se volessi dimostrarlo con la definizione?
b) sia Z = $\{$ $((x),(y))$ $in$ $R^2$ | x+3y=0 $\}$
questo è un sottospaziovettoriale. Da quanto ho letto sui miei libri, si può dedurre perchè si tratta di un'equazione omogenena e perchè contine il vettore nullo. Però se volessi dimostrarlo con la definizione?
3) Per quanto riguarda le applicazioni lineari anche per esse non riesco a capire come dimostrare attraverso la definizione che un'applicazione X (ad esempio) è lineare e non capisco come si trova l'immagine.
Devo determinare e edimostrare se questa applicazione è lineare :
f: $K^2$ $rarr$ $K^2$ definita da f $((x),(y))$ = $((x+y),(xy))$
Grazie della disponibilità.
Ma sui sottospazi e le applicazioni lineari ancora traballo.
1) Lo Span non è altro che l'insieme delle combinazioni lineari degli elementi di uno spazio vettoriale giusto?
2) Innanzitutto non riesco a capire come verificare che un insieme sia sottospaziovettoriale di un altro, ad esempio :
a)
sia W = $\{$ $((x),(y))$ $in$ $R^2$ | y= $e^x$ - 1 $\}$
W non è un sottospazio vettoriale di $R^2$;
Non capisco come mai, una prima ipotesi è che ho fatto è perchè esso non contiene il vettore nullo. Ma se volessi dimostrarlo con la definizione?
b) sia Z = $\{$ $((x),(y))$ $in$ $R^2$ | x+3y=0 $\}$
questo è un sottospaziovettoriale. Da quanto ho letto sui miei libri, si può dedurre perchè si tratta di un'equazione omogenena e perchè contine il vettore nullo. Però se volessi dimostrarlo con la definizione?
3) Per quanto riguarda le applicazioni lineari anche per esse non riesco a capire come dimostrare attraverso la definizione che un'applicazione X (ad esempio) è lineare e non capisco come si trova l'immagine.
Devo determinare e edimostrare se questa applicazione è lineare :
f: $K^2$ $rarr$ $K^2$ definita da f $((x),(y))$ = $((x+y),(xy))$
Grazie della disponibilità.
Per fireball:
forse sono un pò confuso, ma $x_1+y_1$ non è un polinomio?
forse sono un pò confuso, ma $x_1+y_1$ non è un polinomio?
"Alexiei":
1) Lo Span non è altro che l'insieme delle combinazioni lineari degli elementi di uno spazio vettoriale giusto?
E' l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori che formano la base del sottospazio vettoriale contenuto nello spazio vettoriale considerato
(eventualmente sottospazio e spazio possono coincidere). Prendiamo $K=RR$ e $V=RR^3$. Un esempio di sottospazio vettoriale
di $V$ può essere il piano passante per l'origine (se non passasse per l'origine non sarebbe un sottospazio) e parallelo ai vettori
$(1,0,0)$ e $(1,0,1)$. Chiamiamo questo piano $P$. Allora si ha: $P="span"{(1,0,0),(1,0,1)}$ e $"dim"S=2$.
2) Innanzitutto non riesco a capire come verificare che un insieme sia sottospaziovettoriale di un altro, ad esempio :
a)
sia W = $\{$ $((x),(y))$ $in$ $R^2$ | y= $e^x$ - 1 $\}$
W non è un sottospazio vettoriale di $R^2$;
Non capisco come mai, una prima ipotesi è che ho fatto è perchè esso non contiene il vettore nullo. Ma se volessi dimostrarlo con la definizione?
Siccome $W$ è contenuto in $RR^2$, se esso è un sottospazio vettoriale di $RR^2$ significa che su di esso vengono
indotte le stesse operazioni di somma e prodotto definiti su $RR^2$. Presi due elementi di W, $(x_1,e^(x_1)-1)$ e $(x_2,e^(x_2)-1)$,
sommandoli usando la somma così come è stata definita in $RR^2$ abbiamo $(x_1+x_2,e^(x_1)+e^(x_2)-2)$ che non è uguale a $(x_1+x_2,e^(x_1+x_2)-1)$,
quindi $(x_1+x_2,e^(x_1)+e^(x_2)-2)$ è un elemento che non appartiene a $W$. Sarebbe appartenuto a $W$ se fosse stato del tipo $(t,e^t-1)$, ma così non è.
pertanto l'insieme $W$ non è dotato di una struttura di spazio vettoriale. Del resto la parola "vettoriale" fa intendere che sia uno spazio "dritto", "lineare",
e l'insieme $W$ è la curva la cui equazione cartesiana è $y=e^x-1$, quindi in un certo senso è intuitivo il fatto che non sia uno spazio vettoriale.
b) sia Z = $\{$ $((x),(y))$ $in$ $R^2$ | x+3y=0 $\}$
questo è un sottospaziovettoriale. Da quanto ho letto sui miei libri, si può dedurre perchè si tratta di un'equazione omogenena e perchè contine il vettore nullo. Però se volessi dimostrarlo con la definizione?
Procedi come sopra.
3) Per quanto riguarda le applicazioni lineari anche per esse non riesco a capire come dimostrare attraverso la definizione che un'applicazione X (ad esempio) è lineare e non capisco come si trova l'immagine.
Devo determinare e edimostrare se questa applicazione è lineare :
f: $K^2$ $rarr$ $K^2$ definita da f $((x),(y))$ = $((x+y),(xy))$
Grazie della disponibilità.
Devi far vedere che, $AAalpha,beta in K$, e $AA(x_1,y_1),(x_2,y_2) in K^2$ si ha $f(alpha(x_1,y_1)+beta(x_2,y_2))=alphaf(x_1,y_1)+betaf(x_2,y_2)$
Se questo non fosse verificato $f$ non sarebbe lineare. Io ti dico che non è lineare, tu verificalo per esercizio facendo come ti ho detto.
Ti ringrazio, adesso guardo se ho capito, sennò vi ammorberò con altre domande.
Grazie mille
Grazie mille
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