Spazi separabili e spazi quozienti
Sia $(X, ||.||)$ uno spazio normato, $Y sub X$ un suo sottospazio chiuso.
Mostrare che $X$ è separabile $\Leftrightarrow$ $Y$ e $X//Y$ sono separabili.
Ho trovato questo teorema in un libro:
L'immagine continua di uno spazio separabile è separabile.
Da qui dovrebbe discendere direttamente che $X//Y$ è separabile, ma qualcuno mi sa aiutare con la dimostrazione del teorema? E per il viceversa?
Mostrare che $X$ è separabile $\Leftrightarrow$ $Y$ e $X//Y$ sono separabili.
Ho trovato questo teorema in un libro:
L'immagine continua di uno spazio separabile è separabile.
Da qui dovrebbe discendere direttamente che $X//Y$ è separabile, ma qualcuno mi sa aiutare con la dimostrazione del teorema? E per il viceversa?
Risposte
Penso di aver trovato il modo di dimostrare il teorema:
Sia $M sub X$ numerabile tale che $bar M = X$ ($X$ è separabile) e $f$ continua.
$f(M) sub f(X)$, $f$ è continua perciò $f(bar M) sub bar f(M)$
$\Rightarrow f(X)=f(bar M) sub bar f(M) sub f(X) \Rightarrow f(M) = f(X)$.
Quindi $f(X)$ (immagine di un insieme separabile tramite una funzione continua) è separabile.
(Cose di cui non son certa: è sempre vero che $bar f(M) sub f(X)$? e $f(M)$ è numerabile?)
Provato questo mi pare ovvio che $X//Y$ sia denso in quanto immagine della proiezione (che è continua) di $X$.
Rimane da provare (se quello che ho appena detto è valido) che se $Y$ è chiuso e $X//Y$ denso, allora $X$ è denso, suggerimenti?
Sia $M sub X$ numerabile tale che $bar M = X$ ($X$ è separabile) e $f$ continua.
$f(M) sub f(X)$, $f$ è continua perciò $f(bar M) sub bar f(M)$
$\Rightarrow f(X)=f(bar M) sub bar f(M) sub f(X) \Rightarrow f(M) = f(X)$.
Quindi $f(X)$ (immagine di un insieme separabile tramite una funzione continua) è separabile.
(Cose di cui non son certa: è sempre vero che $bar f(M) sub f(X)$? e $f(M)$ è numerabile?)
Provato questo mi pare ovvio che $X//Y$ sia denso in quanto immagine della proiezione (che è continua) di $X$.
Rimane da provare (se quello che ho appena detto è valido) che se $Y$ è chiuso e $X//Y$ denso, allora $X$ è denso, suggerimenti?
il verso => è banale se $M$ denso in $X$ prendi $M/Y$ e $M$intersecato $Y$..nell'altro verso hai per ipotesi che esiste $M$ in $X/Y$ e $A$ in $Y$ numerabili e densi allora se consideri l'insieme $M+A$ è denso e numerabile in $X$ infatti per ogni $x \in X$ trovi $m \in Y$ e $h \in \pi^{-1}\pi(x)$ in modo che lo puoi scrivere come$x=h+m$ e te lo approssimi in norma bene quanto vuoi con elementi del tipo $u+v$ con $u \in \pi^{-1}(M+Y)$ e $v\in A$
Scusami ma la tua dimostrazione non mi pare molto formale, o almeno io non riesco ad interpretarla... Anche perché cosa sarebbe $A+M$?
Domanda: se $Y$ è un sottospazio chiuso di $X$, lo si può sempre vedere come il $ker(\phi)$ per una qualche funzione $\phi$?
Domanda: se $Y$ è un sottospazio chiuso di $X$, lo si può sempre vedere come il $ker(\phi)$ per una qualche funzione $\phi$?
infatti non è formale ho cercato solo di darti l'idea del perchè è così..comunque $M+A:= \{m+a t.c. m\in M a\in A\}$..per la domanda la risposta è affermativa basta prendere come $\phi$ la proiezione su $Y^{\bot}$
Ok proverò a ragionare e rendere formale la tua idea.. intanto posso chiederti un'altra cosa? La proiezione $\pi : X \rightarrow X//Y$ è continua?
ricorda sempre che la continuità è un "fatto di topologie"..cmq se su $X/Y$ metti la topologia indotta dalla norma
$||[x]||=inf\{||x-m|| m\inY\}$ allora è un'applicazione continua tra spazi normati
$||[x]||=inf\{||x-m|| m\inY\}$ allora è un'applicazione continua tra spazi normati
è uscito male allora dato $ [x]:= x+Y$ in $X/Y$ la norma è $|| [x] || =$ inf$ \{|| x-m || m \in Y \}$..si dimostra che se Y è chiuso questa è una norma e rende la proiezione continua
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