Spazi proiettivi - omeomorfismo tra RP ed S

[bestiedda2]

sia [tex]\mathbb{RP}^1[/tex] lo spazio proiettivo reale di dimensione 1, e [tex]S^1[/tex] il cerchio chiuso di raggio 1 e centro l'origine. Dimostrare che [tex]\mathbb{RP}^1 \simeq S^1[/tex] .

Scusate, ma come fanno ad essere omeomorfi quei due spazi? Se [tex]\mathbb{RP}^1 = S^1 / \sim[/tex] dove [tex]\sim[/tex] è la relazione di equivalenza su [tex]S^1[/tex] che identifica i punti antipodali, come è possibile che quei due spazi siano omeomorfi??

[maurer]

Eppure lo sono! Ma vuoi una spiegazione rapida ed intuitiva, oppure necessiti di una dimostrazione rigorosa con "gli [tex]\epsilon[/tex] e i [tex]\delta[/tex]"? (come direbbe un certo mio insegnante...)

[bestiedda2]

prova a darmela "rapida" ed intuitiva, poi io provo a formalizzarla

[maurer]

As you wish...
Beh, per identificare gli opposti puoi restringerti alla semicirconferenza superiore, dove gli unici opposti sono i punti (uso coordinate cartesiane, per dare un'idea) [tex](1,0)[/tex] e [tex](-1,0)[/tex]. Ora, identificando questi due punti otteniamo... una circonferenza!

La formalizzazione può essere fatta in svariati modi, ma nessuna di quelle che conosco io è una traduzione letterale di quest'idea. Piuttosto, tendono tutte a mascherare l'evidenza geometrica della questione. Se hai ancora problemi, fammi sapere... Ciao

[bestiedda2]

cioè tu mi stai dicendo che lo spazio proiettivo può essere visto come il quoziente della semicirconferenza?!?! Ok buona idea, ora butto giù qualcosa e poi ti faccio sapere!

[bestiedda2]

definiamo [tex]\mathbb{RP}^1[/tex] in questo modo: si tratta dello spazio [tex]\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}[/tex] quozientato rispetto alla relazione di equivalenza [tex]\sim[/tex] tale che [tex]x \sim y[/tex] se e solo se [tex]\exists \lambda \not = 0[/tex] tale che [tex]x=\lambda y[/tex] (ovvero l'insieme dei sottospazi vettoriali di dimensione 1). Sia [tex]\pi[/tex] la proiezione sul quoziente tale che [tex]\pi(x)=[x][/tex] il sottospazio generato da [tex]x[/tex]. Consideriamo la restrizione di [tex]\pi[/tex] a [tex]T=S^1 \bigcap \{(x,y) | x \geq 0\}[/tex]: si ha che [tex]\pi(T)=\mathbb{RP}^1[/tex] , perchè dato un qualsiasi punto dello spazio, la retta passante per il punto e l'origine interseca la semicirconferenza. Troviamo ora un'identificazione tra [tex]T[/tex] ed [tex]S^1[/tex] : sia [tex]f: T \rightarrow S^1[/tex] tale che [tex]f((cos(\alpha),sin(\alpha))=(cos(2\alpha),sin(2\alpha))[/tex] , con [tex]- \frac {\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac {\pi}{2}[/tex]: questa applicazione è continua, suriettiva e chiusa perchè continua tra un compatto e uno spazio T2, per cui è una identificazione. Inoltre cessa di essere iniettiva esattamente nei punti [tex](0,1),(0,-1)[/tex] ovvero gli unici due punti di [tex]T[/tex] equivalenti secondo la relazione [tex]\sim[/tex]. Ne consegue che [tex]S^1 \simeq \mathbb{RP}^1[/tex]

[maurer]

Direi che torna.

"maurer":
La formalizzazione può essere fatta in svariati modi, ma nessuna di quelle che conosco io è una traduzione letterale di quest'idea.

In effetti, stavo pensando al fatto che [tex]\mathbb{RP}^1[/tex] è una varietà differenziabile, non che omeomorfo a [tex]\mathcal{S}^1[/tex]. Beh, pazienza.