Spazi proiettivi e sfere
ciao a tutti ragazzi, vi propongo un esercizio e un tentativo di soluzione:
Sia [tex]\pi[/tex] la proiezione usuale tra la sfera n-dimensionale e lo spazio proiettivo [tex]\mathbb{R}P^{n}[/tex], dimostrare che non può esistere un'applicazione continua [tex]\sigma: \mathbb{R}P^{n} \longmapsto S^{n}[/tex] per cui: [tex]\pi \circ \sigma = Id_{\mathbb{R}P^{n}}[/tex]
La mia soluzione è questa :
se n>1, basta osservare che pi è una mappa quoziente e dunque suriettiva, in più deve essere iniettiva per verificare la relazione [tex]\pi \circ \sigma = Id_{\mathbb{R}P^{n}}[/tex]. pi è quindi una biezione con inversa continua, sigma, dunque pi è un'omeomorfismo.
l'omomorfismo indotto da pi è quindi un isomorfismo tra i gruppi fondamentali, impossibile vista la struttura degli stessi.
se n=1? immagino sia chiaro che sigma debba esistere, essendo [tex]\mathbb{R}P^{1}[/tex] e la circonferenza omeomorfi!
Che il testo sia sbagliato? o forse non ho ben capito qualcosa?
a presto amici!
Sia [tex]\pi[/tex] la proiezione usuale tra la sfera n-dimensionale e lo spazio proiettivo [tex]\mathbb{R}P^{n}[/tex], dimostrare che non può esistere un'applicazione continua [tex]\sigma: \mathbb{R}P^{n} \longmapsto S^{n}[/tex] per cui: [tex]\pi \circ \sigma = Id_{\mathbb{R}P^{n}}[/tex]
La mia soluzione è questa :
se n>1, basta osservare che pi è una mappa quoziente e dunque suriettiva, in più deve essere iniettiva per verificare la relazione [tex]\pi \circ \sigma = Id_{\mathbb{R}P^{n}}[/tex]. pi è quindi una biezione con inversa continua, sigma, dunque pi è un'omeomorfismo.
l'omomorfismo indotto da pi è quindi un isomorfismo tra i gruppi fondamentali, impossibile vista la struttura degli stessi.
se n=1? immagino sia chiaro che sigma debba esistere, essendo [tex]\mathbb{R}P^{1}[/tex] e la circonferenza omeomorfi!
Che il testo sia sbagliato? o forse non ho ben capito qualcosa?
a presto amici!
Risposte
provo un bel UP nell'orario a maggiore share! : - )
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