Spazi ortogonali e composizione di funzioni
vi propongo di seguito un altro problema tratto da un appello, per chi fosse in grado di risolvere non esitate a scrivere. chiedo il vostro sapiente aiuto in quanto il 13 settembre ho appello di recupero di algebra e sinceramente vorrei togliermelo dalle spalle.
si consideri il sottospazio U={x+y=0,z+w=0}di R4.determinare scrivendone la matrice associata rispetto ad un opportuna base un endomorfismo f di R4 tale che f sia l'identita SU U ed inoltre kerf sia contenuto ma non uguale ad (U ortogonale) e ker(f)^2=(U ortogonale)
grazie per tutti coloro che risponderanno
si consideri il sottospazio U={x+y=0,z+w=0}di R4.determinare scrivendone la matrice associata rispetto ad un opportuna base un endomorfismo f di R4 tale che f sia l'identita SU U ed inoltre kerf sia contenuto ma non uguale ad (U ortogonale) e ker(f)^2=(U ortogonale)
grazie per tutti coloro che risponderanno
Risposte
Cos'è ker(f)^2 ?
"ciromario":
Cos'è ker(f)^2 ?
sarebbe il nucleo dell'endomorfismo (f^2) cioè il nucleo "dell'endomorfismo al quadrato"
Sarebbe stato meglio scrivere $ker(f^2) $ o meglio ancora $ker(fof)$ che si legge come:
nucleo dell'endomorfismo {f composto f } .
Inoltre interpreto la dizione "un endomorfismo f di R4 tale che f sia l'identità su U" come il fatto che f trasforma U in sé: $f(U)=U$, vettore per vettore. Se tutto ciò è vero vado avanti come segue ( altrimenti passo ...la palla!)
Intanto con facili calcoli ho che :
$U=<(-1,1,0,0),(0,0,1,-1)>$
\(\displaystyle U^{\perp}=<(1,1,0,0),(0,0,1,1)> \)
Per quanto detto su $f(U)=U$, risulta :
A) $f(-1,1,0,0)=(-1,1,0,0)$
B) $f(0,0,1,-1)=(0,0,1,-1)$
Per quanto detto su \(\displaystyle ker(f) \subset U^{\perp} \) , risulta :
C) $f(1,1,0,0)=(0,0,0,0)$ [oppure $f(0,0,1,1)=(0,0,0,0)]$
Infine, per quanto detto su \(\displaystyle ker(f^2) = U^{\perp} \), si ha :
D) $f(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$ [faresti un utile esercizio se ti rendessi personalmente conto di questo passaggio...]
Raccogliendo (A),(B),(C),(D) ne segue che la matrice $M$ richiesta ( rispetto alla base canonica) è:
$M=((-1,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,-1,0,0)) cdot ((-1,0,1,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,-1,0,1)) ^{-1}=1/2((1,-1,1,1),(-1,1,1,1),(0,0,1,-1),(0,0,-1,1))$
La legge algebrica relativa è :
$f(x,y,z,w)=(1/2x-1/2y+1/2z+1/2w,-1/2x+1/2y+1/2z+1/2w,1/2z-1/2w,-1/2z+1/2w)$
N.B.
Da più tempo vengo colpito in modo random dal fenomeno della disconnessione non richiesta, con relativa perdita di quanto già scritto in risposta all'argomento corrente. Ora mi sono fatto furbo (
) e copio in memoria la parte di risposta già pronta, per poi incollarla al momento della disconnessione casuale. Ma di certo la cosa è seccante...
nucleo dell'endomorfismo {f composto f } .
Inoltre interpreto la dizione "un endomorfismo f di R4 tale che f sia l'identità su U" come il fatto che f trasforma U in sé: $f(U)=U$, vettore per vettore. Se tutto ciò è vero vado avanti come segue ( altrimenti passo ...la palla!)
Intanto con facili calcoli ho che :
$U=<(-1,1,0,0),(0,0,1,-1)>$
\(\displaystyle U^{\perp}=<(1,1,0,0),(0,0,1,1)> \)
Per quanto detto su $f(U)=U$, risulta :
A) $f(-1,1,0,0)=(-1,1,0,0)$
B) $f(0,0,1,-1)=(0,0,1,-1)$
Per quanto detto su \(\displaystyle ker(f) \subset U^{\perp} \) , risulta :
C) $f(1,1,0,0)=(0,0,0,0)$ [oppure $f(0,0,1,1)=(0,0,0,0)]$
Infine, per quanto detto su \(\displaystyle ker(f^2) = U^{\perp} \), si ha :
D) $f(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$ [faresti un utile esercizio se ti rendessi personalmente conto di questo passaggio...]
Raccogliendo (A),(B),(C),(D) ne segue che la matrice $M$ richiesta ( rispetto alla base canonica) è:
$M=((-1,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,-1,0,0)) cdot ((-1,0,1,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,-1,0,1)) ^{-1}=1/2((1,-1,1,1),(-1,1,1,1),(0,0,1,-1),(0,0,-1,1))$
La legge algebrica relativa è :
$f(x,y,z,w)=(1/2x-1/2y+1/2z+1/2w,-1/2x+1/2y+1/2z+1/2w,1/2z-1/2w,-1/2z+1/2w)$
N.B.
Da più tempo vengo colpito in modo random dal fenomeno della disconnessione non richiesta, con relativa perdita di quanto già scritto in risposta all'argomento corrente. Ora mi sono fatto furbo (
) e copio in memoria la parte di risposta già pronta, per poi incollarla al momento della disconnessione casuale. Ma di certo la cosa è seccante...
"ciromario":
Sarebbe stato meglio scrivere $ker(f^2) $ o meglio ancora $ker(fof)$ che si legge come:
nucleo dell'endomorfismo {f composto f } .
Inoltre interpreto la dizione "un endomorfismo f di R4 tale che f sia l'identità su U" come il fatto che f trasforma U in sé: $f(U)=U$, vettore per vettore. Se tutto ciò è vero vado avanti come segue ( altrimenti passo ...la palla!)
Intanto con facili calcoli ho che :
$U=<(-1,1,0,0),(0,0,1,-1)>$
\(\displaystyle U^{\perp}=<(1,1,0,0),(0,0,1,1)> \)
Per quanto detto su $f(U)=U$, risulta :
A) $f(-1,1,0,0)=(-1,1,0,0)$
B) $f(0,0,1,-1)=(0,0,1,-1)$
Per quanto detto su \(\displaystyle ker(f) \subset U^{\perp} \) , risulta :
C) $f(1,1,0,0)=(0,0,0,0)$ [oppure $f(0,0,1,1)=(0,0,0,0)]$
Infine, per quanto detto su \(\displaystyle ker(f^2) = U^{\perp} \), si ha :
D) $f(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$ [faresti un utile esercizio se ti rendessi personalmente conto di questo passaggio...]
Raccogliendo (A),(B),(C),(D) ne segue che la matrice $M$ richiesta ( rispetto alla base canonica) è:
$M=((-1,0,0,1),(1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,-1,0,0)) cdot ((-1,0,1,0),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,-1,0,1)) ^{-1}=1/2((1,-1,1,1),(-1,1,1,1),(0,0,1,-1),(0,0,-1,1))$
La legge algebrica relativa è :
$f(x,y,z,w)=(1/2x-1/2y+1/2z+1/2w,-1/2x+1/2y+1/2z+1/2w,1/2z-1/2w,-1/2z+1/2w)$
N.B.
Da più tempo vengo colpito in modo random dal fenomeno della disconnessione non richiesta, con relativa perdita di quanto già scritto in risposta all'argomento corrente. Ora mi sono fatto furbo (
TI ringrazio molto per la mirata spiegazione senza perdite in giochi di parole:) però, sinceramente parlando, scusa se posso sembrare non molto vispo al riguardo, ma credo di non aver chiaro il passaggio che hai fatto su:
Infine, per quanto detto su \(\displaystyle ker(f^2) = U^{\perp} \), si ha :
D) $f(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$
conosco a mena dito definizione e dimostrazioni varie con le composte ma mi sfugge questo passaggio.
se potrai rispondermi non tralasciare nemmeno le spiegazioni del tipo "disegnino per capire" perchè ne ho bisogno!
grazie ancora a tutti!
Ti dico come ho ragionato. Tu sai che per ipotesi è :
(a) $f^2(0,0,1,1)=f[f(0,0,1,1)]=(0,0,0,0)$
e che :
(b) $f(1,1,0,0)=(0,0,0,0)$
Da ( a) e (b) segue allora che :
$f[f(0,0,1,1)]=f(1,1,0,0)$
da cui risulta :
$f(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$
Tieni comunque presente che quest'ultimo risultato non è l'unico possibile, a meno che f non sia bigettiva...
Per concludere, faresti cosa buona accertandoti che la $f(x,y,z,w)$ che ti ho calcolato soddisfa le condizioni richieste.
Ovvero che sia :
1) $f(U)=U$ per ogni vettore di $U$
2) \(\displaystyle ker(f) \subset{U^{\perp}} \)
3) \(\displaystyle ker(f^2)=U^{\perp} \)
N.B. La disconnessione improvvisa ora è diventata la norma. Contenti voi...
(a) $f^2(0,0,1,1)=f[f(0,0,1,1)]=(0,0,0,0)$
e che :
(b) $f(1,1,0,0)=(0,0,0,0)$
Da ( a) e (b) segue allora che :
$f[f(0,0,1,1)]=f(1,1,0,0)$
da cui risulta :
$f(0,0,1,1)=(1,1,0,0)$
Tieni comunque presente che quest'ultimo risultato non è l'unico possibile, a meno che f non sia bigettiva...
Per concludere, faresti cosa buona accertandoti che la $f(x,y,z,w)$ che ti ho calcolato soddisfa le condizioni richieste.
Ovvero che sia :
1) $f(U)=U$ per ogni vettore di $U$
2) \(\displaystyle ker(f) \subset{U^{\perp}} \)
3) \(\displaystyle ker(f^2)=U^{\perp} \)
N.B. La disconnessione improvvisa ora è diventata la norma. Contenti voi...
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