Spazi omogenei
Salve a tutti,
volevo chiedere come poter vedere la varietà di Stiefel $V_{n}(CC{k})$ delle $n-$uple ortonormali in $CC^{k}$ come spazio omogeneo, della forma $\frac{U(k)}{U(k-n)}$. Sicuramente la posso vedere come sottoinsieme del prodotto di $S^{2k-1} \times ... \times S^{2k-1}$, dove compaiono $n$ fattori. Quindi posso considerare la fibrazione $V_{n}(CC^{k}) \rightarrow S^{2k-1}$ ottenuta tramite l'assegnazione $(e_{1}, ..., e_{n}) \mapsto e_{n}$, dove $e_{i}$ sono vettori ortonormali in $CC^{k}$. Mi può essere utile? Grazie
volevo chiedere come poter vedere la varietà di Stiefel $V_{n}(CC{k})$ delle $n-$uple ortonormali in $CC^{k}$ come spazio omogeneo, della forma $\frac{U(k)}{U(k-n)}$. Sicuramente la posso vedere come sottoinsieme del prodotto di $S^{2k-1} \times ... \times S^{2k-1}$, dove compaiono $n$ fattori. Quindi posso considerare la fibrazione $V_{n}(CC^{k}) \rightarrow S^{2k-1}$ ottenuta tramite l'assegnazione $(e_{1}, ..., e_{n}) \mapsto e_{n}$, dove $e_{i}$ sono vettori ortonormali in $CC^{k}$. Mi può essere utile? Grazie
Risposte
Preciso che $n\leq k$
Ad ogni n-upla devi associare la classe di equivalenza di matrici ortogonali in modo che il minore di principale di ordine n è la matrice che manda gli $e_i$ nella tua n-upla. Però non hai ancora una biezione perchè hai considerato solo una matrice $n\times n$, quindi consideri la classe di equivalenza: ${u\circ w|u\inU(k), w\in Id_k \times U(k-n)}$ e consideri lo spazio quoziente $\frac{U(k)}{U(k−n)}$ ottenendo un omeomorfismo.
Ad ogni n-upla devi associare la classe di equivalenza di matrici ortogonali in modo che il minore di principale di ordine n è la matrice che manda gli $e_i$ nella tua n-upla. Però non hai ancora una biezione perchè hai considerato solo una matrice $n\times n$, quindi consideri la classe di equivalenza: ${u\circ w|u\inU(k), w\in Id_k \times U(k-n)}$ e consideri lo spazio quoziente $\frac{U(k)}{U(k−n)}$ ottenendo un omeomorfismo.
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