Spazi Omeomorfi e Completezza

[Fox4]

Dunque:

Se $(X_1,d_1) , (X_2,d_2)$ sono omeomorfi e $X_1$ è completo
posso dire:
$\exists f:X_1->X_2 \ \ tc\ \ [\ \ \forall x_0\inX_1\ e \ \forall \epsilon>0\ \exists \delta>0\ tc\ d_1(x,x_0)<\delta\ =>\ d_2(f(x),f(x_0))<\epsilon\ \ ]$

inoltre se ${x_n}$ è una successione di Cauchy in $X_1$ ne segue che $\forall \epsilon>0 \ \exists N\ \ tc\ \ \forall n,m>N \ \ d_1(x_n,x_m)<\epsilon$

Allora qual' è il problema nell'unire le due definizioni per affermare che anche $X_2$ è completo?
Cioè se si parla di convergenza posso tranquillamente affermare che se una successione converge in $X_1$ allora converge in $X_2$

perchè non si può dire che se una successione è di cauchy in $X_1$ allora è di cauchy in $X_2$?

[Fox4]

Ma quindi scusate:

Se una successione ${x_n}$ in $X_1$ converge, siccome $X_1,X_2$ sono omeomorfi, $f(x_n)$ converge in $X_2$

Ma se ${x_n}$ converge è di cauchy in $X_1$
e come è possibile che ${f(x_n)}$ visto che converge non lo sia in $X_2$???

quindi il problema a mio avviso potrebbe presentarsi al massimo sulle successioni di cauchy in $X_1$ che non convergono in $X_1$
MA se nelle ipotesi $X_1$ è completo non esistono successioni del genere...

Ho un libro che afferma chiaramente che se $X_1$ e $X_2$ sono omeomorfi NON è vero che ($X_1$ completo $<=>$ $X_2$ completo)

[Fox4]

ok, ok, giusto. Nel post precedente stavo facendo un gran casino.
Ormai che ho capito spiego per i posteri

"Fox":
Se una successione ${x_n}$ in $X_1$ converge, siccome $X_1,X_2$ sono omeomorfi, $f(x_n)$ converge in $X_2$

questa affermazione è vera,

e non è in contrasto con la seguente, anche se inizialmente mi sembrava

"Fox":
Ho un libro che afferma chiaramente che se $X_1$ e $X_2$ sono omeomorfi NON è vero che ($X_1$ completo $<=>$ $X_2$ completo)

Ed ecco il perchè:

Siano $(X_1,d_1)$ e $(X_2,d_2)$ spazi metrici omeomorfi e $f:\ X_1->X_2$ un omeomorfismo

Se ${x_n}$ è di cauchy in $X_1$ che è completo, è vero che converge in $X_1$ e che quindi vi è associata una successione ${y_n}$ convergente in $X_2$ ( dove $y_n=f(x_n)$)
ma questo non prova nulla

Io vorrei provare che ogni successione di cauchy ${z_n}$ in $X_2$ converge
MA facendo il ponte con $f^{-1}$ semplicemente non riesco a dire che ${f^-1(z_n)}$ sia di cauchy in $X_1$
e quindi non riesco a dimostrare che $X_2$ è completo.

A questo punto vorrei trovare coppie di spazi omeomorfi in cui uno è completo e uno no.
Ad esempio $(0,1]$ e $[1,+\infty)$ con omeomorfismo $f(r)=[1]/[r]$

$[1,+\infty)$ è completo perchè è un chiuso incluso in $\mathbb{R}$

E quindi abbiamo finito

[dissonance]

"Fox":perchè non si può dire che se una successione è di cauchy in $X_1$ allora è di cauchy in $X_2$?

A questo scopo serve che l'omeomorfismo sia Lipschitziano (nei due versi). Ti riporto un classico controesempio, magari ti aiuta.

Prendiamo come spazio $(X_1, d_1)$ la retta reale con la metrica solita, e come spazio $(X_2, d_2)$ sempre la retta reale ma con la metrica $d_2(x, y)=|arctanx-arctany|$.
Come spazi topologici sono omeomorfi: l'applicazione identica $I:X_2\toX_1$ è un possibile omeomorfismo. Per mostrare questo è sufficiente mostrarne la continuità, essendo l'invertibilità e la continuità dell'inversa ovvie. Sia quindi $(x_n)$ una successione convergente ad $x$ nel senso di $X_2$, ovvero $|arctanx_n-arctanx|\to0$. Per continuità della funzione $tan$ risulta $I(x_n)=tan(arctan(x_n))\totan(arctan(x))=I(x)$.
Però $I$ non è Lipschitziano e questo crea problemi: ad esempio la successione $(x_n)=(1, 2, 3, ..., n, ...)$ è di Cauchy in $X_2$ ma evidentemente non lo è in $X_1$.

P.S: Vedo che mentre scrivevo hai risolto da solo. Vabbé, magari questo esempio ti può servire lo stesso.