Spazi normati
Studiando le norme e gli spazi normati sono arrivato a una definizione che non mi è chiara.
Allora perchè uno spazio posa dirsi normato deve rispettare i seguenti vincoli:
1)$||x||>=0$ $ AA x in X$
2)$||x||=0$ solo se $x=0$
3)$||alphax||=|alpha|*||x||$ con $x in X, alpha in K$
4)$||x+y||<=||x||+||y||$ Disuguaglianza Triangolare
Vi sono varie norme di base definite su vettori,
La norma euclidea o norma 2, la norma di Manhattan o norma 1 ecc
Queste norme sono definite su i vettori, essenso i vettori e le matrici degli spazi isomorfi è possibile estendere le norme alle matrici.
Inserendo un quinto lemma.
5)$||x*y||<=||x||*||y||$ cioè ogni norma applicata sulle matrici deve essere sub-moltiplicativa
In definitiva si definisce come norma naturale di matrice la scrittura:
$||A||-=Sup_(x!=0)(||Ax||)/(||x||)$
-Esiste un caso in cui il quinto lemma (sub-moltiplicatività) applicato alle matrici non è rispettato?
-Non riesco a capire la scrittura della norma naturale.
Allora perchè uno spazio posa dirsi normato deve rispettare i seguenti vincoli:
1)$||x||>=0$ $ AA x in X$
2)$||x||=0$ solo se $x=0$
3)$||alphax||=|alpha|*||x||$ con $x in X, alpha in K$
4)$||x+y||<=||x||+||y||$ Disuguaglianza Triangolare
Vi sono varie norme di base definite su vettori,
La norma euclidea o norma 2, la norma di Manhattan o norma 1 ecc
Queste norme sono definite su i vettori, essenso i vettori e le matrici degli spazi isomorfi è possibile estendere le norme alle matrici.
Inserendo un quinto lemma.
5)$||x*y||<=||x||*||y||$ cioè ogni norma applicata sulle matrici deve essere sub-moltiplicativa
In definitiva si definisce come norma naturale di matrice la scrittura:
$||A||-=Sup_(x!=0)(||Ax||)/(||x||)$
-Esiste un caso in cui il quinto lemma (sub-moltiplicatività) applicato alle matrici non è rispettato?
-Non riesco a capire la scrittura della norma naturale.
Risposte
Se consideri la norma $||A||="max{|a_{i,j}|, i,j=1,...,N}$ vedi che la matrice $A=((1,1),(1,1))$ ha norma $1$ ma $A^2$ ha norma $2$.
Riguardo al secondo punto non capisco cosa non capisci - la norma naurale nel caso della matrice sopra vale
$\max_{(x,y)\ne (0,0)}\frac{||A((x),(y))||}{||((x),(y))||}=\max_{(x,y)\ne (0,0)}\frac{\sqrt{(x+y)^2+(x+y)^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=2$ (salvo errori di calcolo
)
Riguardo al secondo punto non capisco cosa non capisci - la norma naurale nel caso della matrice sopra vale
$\max_{(x,y)\ne (0,0)}\frac{||A((x),(y))||}{||((x),(y))||}=\max_{(x,y)\ne (0,0)}\frac{\sqrt{(x+y)^2+(x+y)^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}=2$ (salvo errori di calcolo
)
[mod="Martino"]Sposto in geometria e algebra lineare. Attenzione alla sezione, grazie.[/mod]
ok, mi servirebbe un altra informazione,
devo fare un esempio di 3 elenti nello spazio linear $RR^2$ linearmente dipendenti.
$A(3,21); B(1,7); C(4,13)$
combinati linearmente $A+(-3B)+0C=(3,21)-(3,21)+0=0$
e poi come faccio a dire se $y_1(x)=cos(x); y_2(x)=-sen(x); y_3(x)=x-3ln(x)$ sono linearmente indipendenti?
devo fare un esempio di 3 elenti nello spazio linear $RR^2$ linearmente dipendenti.
$A(3,21); B(1,7); C(4,13)$
combinati linearmente $A+(-3B)+0C=(3,21)-(3,21)+0=0$
e poi come faccio a dire se $y_1(x)=cos(x); y_2(x)=-sen(x); y_3(x)=x-3ln(x)$ sono linearmente indipendenti?
3 ! elementi di $RR^2$ linearmente dipendenti? mh,
non sarà difficile trovarli! (scusa l'ironia, mica malvagia!)
Uh! cosa è la lineare dipendenza/indipendenza?
Cosa è la dimensione di uno spazio vettoriale?
non sarà difficile trovarli! (scusa l'ironia, mica malvagia!)
Uh! cosa è la lineare dipendenza/indipendenza?
Cosa è la dimensione di uno spazio vettoriale?
-non è in effetti
necessaria la condizione di sub-moltiplicatività per
definire le norma di matrice.
E' infatti aggiunta.
Le norme "naturali"; come qui le vidi chiamate; o "indotte" sono sub-moltiplicative:
$ ||A||-=Sup_(x!=0)||Ax||/||x|| -> \AAx!=0, ||A||>=||Ax||/||x|| -> \AAx,||Ax||<=||A||*||x||$
necessaria la condizione di sub-moltiplicatività per
definire le norma di matrice.
E' infatti aggiunta.
Le norme "naturali"; come qui le vidi chiamate; o "indotte" sono sub-moltiplicative:
$ ||A||-=Sup_(x!=0)||Ax||/||x|| -> \AAx!=0, ||A||>=||Ax||/||x|| -> \AAx,||Ax||<=||A||*||x||$
quindi l'esempio di elementi linearmente dipendenti è sbagliato?
up
Ciao
Per quanto riguarda l'esempio dei 3 vettori lin. indip. in $R^2$ beh si quelli sono dipendenti.. però magari potresti fare un esempio in cui tutti e tre i coefficienti della comb. lineare sono diversi da 0. Cioè prendere tre vettori che a 2 a 2 siano linearmente indipendenti.. giusto per farlo più carino.
Per la seconda domanda.. in che spazio vettoriale stai lavorando? $R-$spazio vettoriale delle funzioni continue da $R+$ in $R$?
Per quanto riguarda l'esempio dei 3 vettori lin. indip. in $R^2$ beh si quelli sono dipendenti.. però magari potresti fare un esempio in cui tutti e tre i coefficienti della comb. lineare sono diversi da 0. Cioè prendere tre vettori che a 2 a 2 siano linearmente indipendenti.. giusto per farlo più carino.
Per la seconda domanda.. in che spazio vettoriale stai lavorando? $R-$spazio vettoriale delle funzioni continue da $R+$ in $R$?
Non lo so la domanda non lo specifica, cercavo un metodo per verificare l'indipendenza di più funzioni.
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