Spazi metrizzabili
Devo dimostrare che il sottospazio di uno spazio metrizzabile è metrizzabile. Ora partendo dal concetto che non ho ben capito nemmeno come si dimostra per benino che uno spazio sia metrizzabile mi affido a voi per illuminazioni divine...
Credo che sia abbastanza semplice partendo dal fatto che se può definire una distanza da uno spazio anche in un suo sottoinsieme è possibile. Ovviamente detto cosi è aria fritta...
Credo che sia abbastanza semplice partendo dal fatto che se può definire una distanza da uno spazio anche in un suo sottoinsieme è possibile. Ovviamente detto cosi è aria fritta...
Risposte
Credo basti dimostrare che la topologia indotta dalla metrica dello spazio grande è una metrica...
come faccio a far vedere in generale che la metrica induce ad una topologia?
Credo di non aver capito cosa non capisci...
Prima chiariscimi se possibile il concetto di spazio metrizzabile, cioè si parla di spazio metrizzabile quando su uno spazio topologico è possibile definire una distanza oppure quando da uno spazio metrico di definisce la topologia?
Uno spazio metrizzabile è uno spazio in cui è possibile definire una metrica. Da una metrica è sempre possibile definire una topologia (le palle aperte sono una base per la topologia).
L'unica cosa da far vedere è che la topologia indotta sul sottospazio induce proprio la metrica data dallo spazio ristretta agli elementi del sottospazio.
In altre parole sia $U \subset (X, \tau)$. $\tau = \tau_d$ (una sua base consiste in tutti gli elementi della forma $B_(\epsilon)(p) = { x \in X | d(x,p) < epsilon}$) dove $d$ esiste per il fatto che $X$ è metrizzabile.
Ora prendi la topologia indotta su $U$ e definisci $(d|U)(x,y) := d(x,y)$ per $x,y \in U$. Quello che devi fare vedere è che la topologia indotta sul sottospazio (quella per cui un aperto intersecato con $U$ è per definizione aperto) coincide con la topologia indotta da $d|U$.
Hint: procedi dimostrando che una topologia è sottoinsieme dell'altra, e viceversa.
In altre parole sia $U \subset (X, \tau)$. $\tau = \tau_d$ (una sua base consiste in tutti gli elementi della forma $B_(\epsilon)(p) = { x \in X | d(x,p) < epsilon}$) dove $d$ esiste per il fatto che $X$ è metrizzabile.
Ora prendi la topologia indotta su $U$ e definisci $(d|U)(x,y) := d(x,y)$ per $x,y \in U$. Quello che devi fare vedere è che la topologia indotta sul sottospazio (quella per cui un aperto intersecato con $U$ è per definizione aperto) coincide con la topologia indotta da $d|U$.
Hint: procedi dimostrando che una topologia è sottoinsieme dell'altra, e viceversa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo