[spazi metrici] La somma di chiusi non è un chiuso?
Il prof c'ha dato questo semplice esercizio sugli spazi metrici..
Dati $A,B sub RR^n$ chiusi
Provare che
1) $A$ compatto, $B$ compatto $=>A+B$ compatto
2) $A$ compatto $=>A+B$ chiuso
Sono semplici, li ho risolti facilmente.
Il vero problema è
3) $A,B$ chiusi non implica $A+B$ chiuso
Dati gli esercizi preliminari, sicuramente non bisogna prendere A e B limitati...ma non riesco a trovare sto controesempio!
Ho provato in 1 dimensione..ma senza risultato, al che ho pensato: proviamo in 2: ma qui non so come fare, del resto la somma di sottospazi (che sono chiusi) è sottospazio (quindi chiuso): dovrei prendere quindi non sottospazi..
o forse è molto più facile??
Dati $A,B sub RR^n$ chiusi
Provare che
1) $A$ compatto, $B$ compatto $=>A+B$ compatto
2) $A$ compatto $=>A+B$ chiuso
Sono semplici, li ho risolti facilmente.
Il vero problema è
3) $A,B$ chiusi non implica $A+B$ chiuso
Dati gli esercizi preliminari, sicuramente non bisogna prendere A e B limitati...ma non riesco a trovare sto controesempio!
Ho provato in 1 dimensione..ma senza risultato, al che ho pensato: proviamo in 2: ma qui non so come fare, del resto la somma di sottospazi (che sono chiusi) è sottospazio (quindi chiuso): dovrei prendere quindi non sottospazi..
o forse è molto più facile??
Risposte
cosa intendi per $A+B$??? l'unione? la somma connessa??
cosa intendi per $A+B$??? l'unione? la somma connessa??
credo sia l'unione... cmq in$RR$ puoi considerare ad esempio gli insiemi chiusi $[0,1-1/n]$ per $n\in NN$ escluso lo zero ovviamente...allora hai che l'unione è l'insieme $[0,1)$ che non è chiuso ovviamente. questo esempio va bene anche in $RR^n$ in quanto ovviamente $[0,1-1/n]$ è chiuso in $RR^n$....ciao
spero vada bene
spero vada bene
Scusate l'omissione: intendo
$A+B={x in RR^n|EEa in AEEb in B t.c.x=a+b}$
Con la + somma componente per componente.
$A+B={x in RR^n|EEa in AEEb in B t.c.x=a+b}$
Con la + somma componente per componente.
In $RR$ prendi $A:={n:n\in NN}$, $B:={-n+1/n:n\in NN,n\geq 1}$. $A$ e $B$ sono chiusi (sono unione di punti isolati).
$0\notin A+B$ perché non può essere $0=n-m+1/m$ per $n,m$ interi. Però $0$ è nella chiusura di $A+B$ dato che
è limite di $a_n+b_n$ dove $a_n:=n$ e $b_n=-n+1/n$.
$0\notin A+B$ perché non può essere $0=n-m+1/m$ per $n,m$ interi. Però $0$ è nella chiusura di $A+B$ dato che
è limite di $a_n+b_n$ dove $a_n:=n$ e $b_n=-n+1/n$.
Ne ho discusso con un amico e naturalmente abbiamo trovato un controesempio "algebrico" 
$ZZ$ e $pi ZZ$ sono chiusi in $RR$ ma la loro somma è addirittura densa in $RR$, quindi certamente non chiusa (in quanto numerabile). Questo viene dal fatto che un sottogruppo additivo non nullo di $RR$ è del tipo $d ZZ$ con $d \in RR$ oppure è denso in $RR$. Se $ZZ+piZZ$ (che è un sottogruppo additivo di $RR$) fosse della forma $d ZZ$ si avrebbe (dopo qualche conto) $pi \in QQ$, visibilmente assurdo
Naturalmente al posto di $pi$ si può prendere un qualsiasi irrazionale.
$ZZ$ e $pi ZZ$ sono chiusi in $RR$ ma la loro somma è addirittura densa in $RR$, quindi certamente non chiusa (in quanto numerabile). Questo viene dal fatto che un sottogruppo additivo non nullo di $RR$ è del tipo $d ZZ$ con $d \in RR$ oppure è denso in $RR$. Se $ZZ+piZZ$ (che è un sottogruppo additivo di $RR$) fosse della forma $d ZZ$ si avrebbe (dopo qualche conto) $pi \in QQ$, visibilmente assurdo
Naturalmente al posto di $pi$ si può prendere un qualsiasi irrazionale.
Grandioso. Grazie $10^3$
@vicious: effettivamente avevo pensato ad usare $NN$,ma non ero riuscito a trovare l'opportuno $B$..
@Martino: si, ti seguo: era un esercizio del Rudin, c'è anche lo svolgimento sul Buttazzo, passo intermedio per mostrare che $sin(n)$ con $n in NN$ è denso in $[-1,1]$....e io e un mio amico lo facemmo "quasi tutto" noi...ricordo che fu faticoso, ma appagante (quando lo risolvemmo)!
@vicious: effettivamente avevo pensato ad usare $NN$,ma non ero riuscito a trovare l'opportuno $B$..
@Martino: si, ti seguo: era un esercizio del Rudin, c'è anche lo svolgimento sul Buttazzo, passo intermedio per mostrare che $sin(n)$ con $n in NN$ è denso in $[-1,1]$....e io e un mio amico lo facemmo "quasi tutto" noi...ricordo che fu faticoso, ma appagante (quando lo risolvemmo)!
Un esempio in $RR^2$ - più immediatamente visualizzabile- è
$A={(x,1/x) : x>0$ e $B={(x,-1/x) : x >0$.
$(0.0)$ è nella chiusura di $A+B$ ma non in $A+B$
$A={(x,1/x) : x>0$ e $B={(x,-1/x) : x >0$.
$(0.0)$ è nella chiusura di $A+B$ ma non in $A+B$
Scusa Gaal, ma o tu o il tuo prof. vi siete persi qualcosa.
In uno spazio metrico non ha alcun senso parlare di addizione, a meno che voi non stiate trattando strutture miste, tipo spazi vettoriali topologici metrizzabili, spazi di Banach o di Hilbert... Secondo me è questo che ha generato confusione.
"Gaal Dornick":
Il prof c'ha dato questo semplice esercizio sugli spazi metrici..
Dati $A,B sub RR^n$ chiusi
Provare che
1) $A$ compatto, $B$ compatto $=>A+B$ compatto
2) $A$ compatto $=>A+B$ chiuso
Sono semplici, li ho risolti facilmente.
Il vero problema è
3) $A,B$ chiusi non implica $A+B$ chiuso
"Gaal Dornick":
Scusate l'omissione: intendo
$A+B={x in RR^n|EEa in AEEb in B t.c.x=a+b}$
Con la + somma componente per componente.
In uno spazio metrico non ha alcun senso parlare di addizione, a meno che voi non stiate trattando strutture miste, tipo spazi vettoriali topologici metrizzabili, spazi di Banach o di Hilbert... Secondo me è questo che ha generato confusione.
Beh ma ha preso sottoinsiemi di $RR^n$, e li' una somma c'è..
Se qualcuno s'è perso qualcosa..sono stato io!
Ovviamente il problema è calato in $RR^n$, non parlo d'altro, nè il prof ha mai usato la parola "metrico". Semplicemente nelle dimostrazioni ho usato le caratterizzazioni metriche di chiuso, compatto....e difatto il mio esercizio (se si trascura il fatto che si stiano facendo somme..) è un esercizietto di spazi metrici...per quello ho usato la parola "metrici".
Ovviamente il problema è calato in $RR^n$, non parlo d'altro, nè il prof ha mai usato la parola "metrico". Semplicemente nelle dimostrazioni ho usato le caratterizzazioni metriche di chiuso, compatto....e difatto il mio esercizio (se si trascura il fatto che si stiano facendo somme..) è un esercizietto di spazi metrici...per quello ho usato la parola "metrici".
"Gaal Dornick":
e difatto il mio esercizio (se si trascura il fatto che si stiano facendo somme..) è un esercizietto di spazi metrici...
Ma
... "se si trascura il fatto che si stiano facendo somme"? Ma se è proprio quello il punto essenziale dell'esercizio (nella tua esposizione)! Comunque, scherzi a parte, la soluzione trovata da Martino è davvero carina!
"Gugo82":
la soluzione trovata da Martino è davvero carina!
anche a me piace. In realtà ho parlato ad un mio amico di questo problema ed è stato lui ad avere l'idea.
"Gaal Dornick":
se si trascura il fatto che si stiano facendo somme..
Infatti avevo messo i puntini di sospensione...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo