Spazi metrici

[giuscri]

Buonasera a tutti, mi piacerebbe riuscire a dimostrare che |x-y| sia uno spazio metrico.
Che sia maggiore di zero in generale e uguale a zero solo se x e y coincidono è fatta. Allo stesso modo è garantito che |x-y|=|y-x|.

Ora, diseguaglianza triangolare:

|x-y|≤|x-z|+|z-y|

I casi che credo di dover distinguere sono un primo, quando z è compreso fra x e y, e un altro, quando z è maggiore (o minore) di entrambi. Nel primo caso la diseguaglianza mi da |x-y|=x-y, con y>x. Ma poi?

Qualcuno è in vena di aiutarmi? =)

[xdom="gugo82"]Spostato in Geometria.

P.S.: "Dimostrare che \(|x-y|\) sia uno spazio metrico"? E che vuol dire?
Ti ricordo che uno spazio metrico è una coppia \((X,d)\) in cui \(X\) è un insieme non vuoto e \(d:X\times X\to \mathbb{R}\) è un'applicazione che soddisfa certe proprietà.[/xdom]

[vict85]

Per prima cosa: per i prossimi post usa le formule. Nel tuo caso bastava mettere il simbolo di dollaro intorno alle formule.

La disuguaglianza triangolare da te scritta è equivalente a \(\displaystyle |x+z-z-y| \le |x-z|+|z-y| \)
Prova a ragionare su questa...

[giuscri]

Sono stato impreciso in effetti. Intendevo parlare di distanza.

Allora, provando ad aggiungere e sottrarre, al primo membro, d'una quantità z, posso guardare alla diseguaglianza così:

$|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|z-y|$

Ora, deciso $y>x$, ho un'uguaglianza nel caso in cui $y < z < x$, perché sia a destra che a sinistra devo sommare le stesse quantità positive fra di loro.

Se $z>y$, allora $z>x$. Al primo membro quindi $x-z$ è negativo. Questo mi assicura che il primo membro sia più piccolo in modulo rispetto al secondo. Lo stesso si trova se $z
Mi sembra una verifica molto poco pulita. Proverò a ripensarci.

[vict85]

Prova a pensare a cosa puoi dire di $|a+b|$ e $|a|+|b|$ dopo di che usalo.