Spazi matrici
Tre quesiti.
1) Dimostrare che $d=min{|x_i-y_i|}$ non è una distanza. Lo dimostro con un controesempio prendo tre vettori in $R^2$ del tipo $x=(4,0)$ ,$y=(0,1)$ e $z=(0,2)$ e faccio vedere che la proprietà transitiva nn funge. Va bene?
2) Devo dimostrare (X,d) dove $d=max{|x_i-y_i|}$ è uno spazio metrico, mi incasino con la proprietà transitiva.
3) Devo dimostrare (X,d) dove $d=||x-y||$ è uno spazio metrico, mi incasino anche qui con la proprietà transitiva.
Help help. Thanks
1) Dimostrare che $d=min{|x_i-y_i|}$ non è una distanza. Lo dimostro con un controesempio prendo tre vettori in $R^2$ del tipo $x=(4,0)$ ,$y=(0,1)$ e $z=(0,2)$ e faccio vedere che la proprietà transitiva nn funge. Va bene?
2) Devo dimostrare (X,d) dove $d=max{|x_i-y_i|}$ è uno spazio metrico, mi incasino con la proprietà transitiva.
3) Devo dimostrare (X,d) dove $d=||x-y||$ è uno spazio metrico, mi incasino anche qui con la proprietà transitiva.
Help help. Thanks
Risposte
per 1) scusa perchè consideri vettori in $RR^2$? quella $d$ dove viene definita?
per la 2) beh tu sai che $|\cdot|$ è una distanza e da qui è facile conculdere che $d$ lo è.
per la 3) cosa iintendi con $||\cdot ||$ non è chiaro.
per la 2) beh tu sai che $|\cdot|$ è una distanza e da qui è facile conculdere che $d$ lo è.
per la 3) cosa iintendi con $||\cdot ||$ non è chiaro.
In effetti sono stata sommaria nel definire ... era tardi, avevo sonno 
Allora:
1) L'esercizio diceva dimostrare che non è una distanza in $RR^n$. E quindi ho cercato un controesempio in $RR^2$ che funzionasse, cioè che nn verificasse tutte e tre le proprietà della distanza.
Infatti la positività e la simmetria si verificavano, ma la transitività con quei tre vettori non si aveva dato che:
$d(x,z)>d(x,y)+d(y,z)$
perchè $d(x,z)=min{|4-0|,|0-2|}={4,2}=2$ invece $d(x,y)+d(y,z)=min{|4-0|,|0-1|}+mini{|0-0|,|1-2|}={0,1}=1$
2)L'esercizio chiedeva di dimostrare che d è una distanza in $RR^n$
In un caso $d(x,y)=||x-y||=sqrt(sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2)$
Nell'altro $d(x,y)=max{|x_i-y_i|}$
In entrambi i casi ho problemi a dimostrare la proprietà transitiva. Mi sapreste aiutare.
Thanks
Allora:
1) L'esercizio diceva dimostrare che non è una distanza in $RR^n$. E quindi ho cercato un controesempio in $RR^2$ che funzionasse, cioè che nn verificasse tutte e tre le proprietà della distanza.
Infatti la positività e la simmetria si verificavano, ma la transitività con quei tre vettori non si aveva dato che:
$d(x,z)>d(x,y)+d(y,z)$
perchè $d(x,z)=min{|4-0|,|0-2|}={4,2}=2$ invece $d(x,y)+d(y,z)=min{|4-0|,|0-1|}+mini{|0-0|,|1-2|}={0,1}=1$
2)L'esercizio chiedeva di dimostrare che d è una distanza in $RR^n$
In un caso $d(x,y)=||x-y||=sqrt(sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2)$
Nell'altro $d(x,y)=max{|x_i-y_i|}$
In entrambi i casi ho problemi a dimostrare la proprietà transitiva. Mi sapreste aiutare.
Thanks
ma scusa se te lo chiede in $RR^n$ lo devi dimostrare in $RR^n$ e non solo in $RR^2$... 
ok?
ok?
ops.......... quindi come lo dimostro in generale carissima? Induzione su n?
E per gli altri due?
E per gli altri due?
allora per il primo basta che prendere quei vettori che hai scelto ma invece di vederli in $RR^2$ vedili in $RR^n$ cioè aggiunfi tanti zeri alle componenti quante te ne servono
così $x=(4,0,0,...,0)$ $y=(0,1,0,...0)$ $z=(0,2,0,...,0)$
per il 3 è facile facile basta che osservi che se $a,b,c\in RR$ allora $|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$ e se passi al max questo ancora vale...
per il 2) puoi utilizzare la disuguaglianza seguente:
detti$x=(x_1,...,x_n)$ e $y=(y_1,...,y_n)$ allora
$\sum_{i=1}^{n}|x_i y_i|\leq(\sum_{i=1}^{n}x_i^2)^{1/2} (\sum_{i=1}^{n}y_i^2)^{1/2}$
ora tocca a te
così $x=(4,0,0,...,0)$ $y=(0,1,0,...0)$ $z=(0,2,0,...,0)$
per il 3 è facile facile basta che osservi che se $a,b,c\in RR$ allora $|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$ e se passi al max questo ancora vale...
per il 2) puoi utilizzare la disuguaglianza seguente:
detti$x=(x_1,...,x_n)$ e $y=(y_1,...,y_n)$ allora
$\sum_{i=1}^{n}|x_i y_i|\leq(\sum_{i=1}^{n}x_i^2)^{1/2} (\sum_{i=1}^{n}y_i^2)^{1/2}$
ora tocca a te
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