Spazi intersezione, somma
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 3 sui reali, e $R(a,b,c)$ un suo riferimento.
Sia V' il sottospazio di V generato da $S'(a,a-c)$ e V'' quello generato da $(b,b-a)$.
a) Determinare $W=V' ^^ V'' $ e $U=V'+V''$.
b) U è somma diretta?
Svolgimento:
a)$W=V' ^^ V'' $
Rappresentiamo V':
Il mio ragionamento è questo, ho espresso i vettori che generano V' come combinazione lineare dei vettori di R.
Ho ottenuto che le componenti di $a$ in R sono $(1,0,0)$; quelle di $a-c$ in R sono $(1,0,-1)$.
A questo punto ho formato la matrice avente come prime due colonne le componenti di $a$ e $a-c$ e come terza colonna il generico vettore di $V^3$ $(x,y,z)$. riducendo in forma a scala ho trovato che l'equazione omogenea che rappresenta V' in R è $y=0$.
Ho fatto lo stesso per V'' e ho ottenuto $z=0$.
Il mio W è l'intersezione di V' e V'', dunque: $W={ ( y=0 ),( z=0 ):} $. Dunque W è il sottospazio di V^3 avente dimensione 1, dato che l'unica variabile libera è la x.
Una sua base è dunque $(1,0,0)$.
U è invece il sottospazio generato dai due vettori che generano V' e dai due che generano V''.
Ho formato la matrice le cui righe sono le componenti in R dei vettori assegnati e ho ridotto in forma a scala, ottenendo che U è il sottospazio generato da $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$, che coincide con V^3.
b) U non può essere somma diretta dei due sottospazi, poichè affinche U sia somma diretta i due sottospazi devono avere intersezione nulla.
Si accettano commenti sia positivi che negativi
Sia V' il sottospazio di V generato da $S'(a,a-c)$ e V'' quello generato da $(b,b-a)$.
a) Determinare $W=V' ^^ V'' $ e $U=V'+V''$.
b) U è somma diretta?
Svolgimento:
a)$W=V' ^^ V'' $
Rappresentiamo V':
Il mio ragionamento è questo, ho espresso i vettori che generano V' come combinazione lineare dei vettori di R.
Ho ottenuto che le componenti di $a$ in R sono $(1,0,0)$; quelle di $a-c$ in R sono $(1,0,-1)$.
A questo punto ho formato la matrice avente come prime due colonne le componenti di $a$ e $a-c$ e come terza colonna il generico vettore di $V^3$ $(x,y,z)$. riducendo in forma a scala ho trovato che l'equazione omogenea che rappresenta V' in R è $y=0$.
Ho fatto lo stesso per V'' e ho ottenuto $z=0$.
Il mio W è l'intersezione di V' e V'', dunque: $W={ ( y=0 ),( z=0 ):} $. Dunque W è il sottospazio di V^3 avente dimensione 1, dato che l'unica variabile libera è la x.
Una sua base è dunque $(1,0,0)$.
U è invece il sottospazio generato dai due vettori che generano V' e dai due che generano V''.
Ho formato la matrice le cui righe sono le componenti in R dei vettori assegnati e ho ridotto in forma a scala, ottenendo che U è il sottospazio generato da $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$, che coincide con V^3.
b) U non può essere somma diretta dei due sottospazi, poichè affinche U sia somma diretta i due sottospazi devono avere intersezione nulla.
Si accettano commenti sia positivi che negativi
Risposte
Forse hai invertito le rappresentazioni di [tex]$\mathbb{V}'$[/tex] e [tex]$\mathbb{V}''$[/tex]! 
Hai ragione, ho provveduto a correggere.
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