Spazi euclidei e sottospazi vettoriali
Ciao 
Il mio professore non ci ha fatto vedere nulla riguardo al fatto che se $(V;<,>)$ sia uno spazio euclideo e $WleqV$ un sottospazio vettoriale di $V$ allora $(W;<,>_(WtimesW))$ sia ancora uno spazio euclideo.
Prendo $dimV=n$ e $dimW=m$
potete darmi una dimostrazione intuitiva? Diciamo che l'idea l'ho, ma non riesco a buttarla giù.
Più che altro non mi viene come dimostrare in generale dapprima che la restrizione di una forma bilineare definita su uno spazio vettoriale continui ad essere una forma bilineare se la restringo ad un sottospazio.
In particolare che se è una forma bilineare simmetrica, la matrice della restrizione rimane tale.
Per quanto riguarda l'essere definita positiva non ho problemi. Si parla di prodotti scalari, basta prendere una base di $W$ e completarla a base $V$. Poiché per ipotesi $<,>$ è un prodotto scalare allora tutti i minori principali sono positivi, in particolare lo sono i primi $m$(ovvero quelli che compongono la matrice della restrizione) e quindi supposto vero che rimanga una forma bilineare simmetrica, rimane anche definita positiva.
Il mio professore non ci ha fatto vedere nulla riguardo al fatto che se $(V;<,>)$ sia uno spazio euclideo e $WleqV$ un sottospazio vettoriale di $V$ allora $(W;<,>_(WtimesW))$ sia ancora uno spazio euclideo.
Prendo $dimV=n$ e $dimW=m$
potete darmi una dimostrazione intuitiva? Diciamo che l'idea l'ho, ma non riesco a buttarla giù.
Più che altro non mi viene come dimostrare in generale dapprima che la restrizione di una forma bilineare definita su uno spazio vettoriale continui ad essere una forma bilineare se la restringo ad un sottospazio.
In particolare che se è una forma bilineare simmetrica, la matrice della restrizione rimane tale.
Per quanto riguarda l'essere definita positiva non ho problemi. Si parla di prodotti scalari, basta prendere una base di $W$ e completarla a base $V$. Poiché per ipotesi $<,>$ è un prodotto scalare allora tutti i minori principali sono positivi, in particolare lo sono i primi $m$(ovvero quelli che compongono la matrice della restrizione) e quindi supposto vero che rimanga una forma bilineare simmetrica, rimane anche definita positiva.
Risposte
Le proprietà della def di forma bilineare simmetrica valgono $\forall v, w \in V$, quindi in particolare valgono su un sottospazio $W$, no?
Che sono cretino 
allora abbiamo praticamente finito.
Ah comunque come nozione di spazio euclideo utilizzo quella del sernesi.
Ovvero che $(V;*)$ è uno spazio euclideo se $V$ è uno spazio vettoriale e $*$ un prodotto scalare su $V$
allora abbiamo praticamente finito.Ah comunque come nozione di spazio euclideo utilizzo quella del sernesi.
Ovvero che $(V;*)$ è uno spazio euclideo se $V$ è uno spazio vettoriale e $*$ un prodotto scalare su $V$
"anto_zoolander":
Che sono cretino
Ah comunque come nozione di spazio euclideo utilizzo quella del sernesi.
Ovvero che $(V;*)$ è uno spazio euclideo se $V$ è uno spazio vettoriale e $*$ un prodotto scalare su $V$
per prodotto scalare tu intendi una forma bilineare simmetrica definita positiva o solo una forma bilineare simmetrica?:P
Non ho letto il sernesi
Definita positiva. Infatti ho parlato del fatto che anche la restrizione dovesse essere definita positiva 
Questa materia porta a diventare pignoli.
Questa materia porta a diventare pignoli.
"anto_zoolander":
Definita positiva. Infatti ho parlato del fatto che anche la restrizione dovesse essere definita positiva
Questa materia porta a diventare pignoli.
E' quello il suo scopo
Ciao!
A questo punto ti chiedo una cosa ulteriore, ma la metto come OT perché non c'entra molto.
[ot]facendo il teorema spettrale mi sono sorti alcuni dubbi.
Ovvero se ho un operatore lineare, rappresentato proprio da una espressione analitica, controllo se è autoaggiunto e siamo felici. Viceversa se ho una matrice simmetrica, di qualsiasi tipo, perché posso dire che è sempre diagonalizzabile?
Io mi sono risposto nel seguente modo: comunque io fissi una base ortonormale per il prodotto scalare, posso associare alla matrice un endomorfismo che rispetto a tale base si presenta con la matrice simmetrica che ho richiesto e fino a qui sono felice perché quindi ogni matrice simmetrica può essere diagonalizzata.
Ma a cosa mi serve questo se io poi ho bisogno di diagonalizzare un operatore in particolare?
[/ot]
[ot]facendo il teorema spettrale mi sono sorti alcuni dubbi.
Ovvero se ho un operatore lineare, rappresentato proprio da una espressione analitica, controllo se è autoaggiunto e siamo felici. Viceversa se ho una matrice simmetrica, di qualsiasi tipo, perché posso dire che è sempre diagonalizzabile?
Io mi sono risposto nel seguente modo: comunque io fissi una base ortonormale per il prodotto scalare, posso associare alla matrice un endomorfismo che rispetto a tale base si presenta con la matrice simmetrica che ho richiesto e fino a qui sono felice perché quindi ogni matrice simmetrica può essere diagonalizzata.
Ma a cosa mi serve questo se io poi ho bisogno di diagonalizzare un operatore in particolare?
[/ot]
"anto_zoolander":
A questo punto ti chiedo una cosa ulteriore, ma la metto come OT perché non c'entra molto.
[ot]facendo il teorema spettrale mi sono sorti alcuni dubbi.
Ovvero se ho un operatore lineare, rappresentato proprio da una espressione analitica, controllo se è autoaggiunto e siamo felici. Viceversa se ho una matrice simmetrica, di qualsiasi tipo, perché posso dire che è sempre diagonalizzabile?
Io mi sono risposto nel seguente modo: comunque io fissi una base ortonormale per il prodotto scalare, posso associare alla matrice un endomorfismo che rispetto a tale base si presenta con la matrice simmetrica che ho richiesto e fino a qui sono felice perché quindi ogni matrice simmetrica può essere diagonalizzata.
Ma a cosa mi serve questo se io poi ho bisogno di diagonalizzare un operatore in particolare?
Non ho capito bene la domanda. Chiaramente fissata una base ortonormale sullo spazio hai un isomorfismo fra le matrici e gli endomorfismi, quindi in particolare esiste un unico endomorfismo la cui matrice associata rispetto alla base fissata corrisponde alla matrice simmetrica che hai fra le mani. A cosa serve sapere questo? Sapendo che può essere diagonalizzata puoi trovare una base spettrale per l'operatore(applichi il th spettrale), sbaglio?
Certo.
La domanda è più legata al fatto che diagonalizzare una matrice rispetto a una base possa non significare diagonalizzare un particolare endomorfismo che mi serva. Ma magari è una questione inutile
La domanda è più legata al fatto che diagonalizzare una matrice rispetto a una base possa non significare diagonalizzare un particolare endomorfismo che mi serva. Ma magari è una questione inutile
"anto_zoolander":
Certo.
La domanda è più legata al fatto che diagonalizzare una matrice rispetto a una base possa non significare diagonalizzare un particolare endomorfismo che mi serva. Ma magari è una questione inutile
Ok, provo a fare chiarezza: sia $(V, \phi)$ uno spazio euclideo di dimensione $n$ su $\mathbb{K}$, $f \in End(V)$ e $B$ una base ortonormale di $V$ per $\phi$. Quando fissi una base automaticamente hai un isomorfismo $[ ]_B : V \to \mathbb{K^n}$[nota]che è anche un isometria fra $(V, \phi)$ e $(\mathbb{K^n}, <, >)$ se $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ e $<, >$ è il ps standard[/nota] e uno $M_B( \cdot ) : End(V) \to M(n, \mathbb{K})$ che associa $g \in End(V)$ la sua matrice associata rispetto a $B$: $M_B(g)$.
Sia $A$ la matrice simmetrica che hai fra le mani e $f$ l'endomorfismo a essa associato rispetto a $B$ base $\phi$-ortonormale.
Ok, adesso mettiamoci in $\mathbb{K} = \mathbb{R}$:
1)fissata una base $B$ $\phi-$ortonormale è facile dimostrare che $f$ è autoaggiunto per $\phi \iff$ la matrice associata a $f$ rispetto a $B$ è simmetrica;
2) Ogni matrice simmetrica è ortogonalmente diagonalizzabile, quindi da bravo bambino trovi una base ortonormale per il ps standard che diagonalizza $A$, chiamiamo questa base $B' = {x_1, ..., x_n}$, la controimmagine di $B'$ mediante $[ ]_B$ ti fornisce una base spettrale per $f$.
Vediamolo più in dettaglio: fisso $B$ ortornomale per $\phi$, allora $M_B(f) = A \in S(n , \mathbb{R})$, poiché $A$ è simmetrica allora $\exists P \in O(n)$ tale che $P^(-1)AP = D$ diagonale, sia $B'$ base di $V$ tale che $M_{B', B}(id) = P$, poiché $P$ è ortogonale e $(V, \phi)$ è un $\mathbb{R}-$spazio euclideo allora $B'$ è ortonormale per $\phi$ e $M_B'(f) = D$.
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