Spazi e sottospazi vettoriali

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13 gen 2010, 19:17

aiuto!
Mi potete spiegare come procedere per risolvere questo esercizio? Ci sto ragionando da ore ma non so proprio da dove iniziare!

- Denotata con $B_0$ = $(e_i)_{1<=i<=5}$ la base canonica di R^5, si considerino i sottospazi $V=L(e_1, e_1-e_3)$ e $W=L(e_1,e_2,e_4)$; si determini la dimensione ed una base del sottospazio V$nn$W; si determinino inoltre la dimensione ed equazioni cartesiane per il sottospazio V+W.

Cercando di risolvere il problema ho trovato che:
V=L{(1,0,0,0,0),(1,0,-1,0,0)}
W=L{(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,0,1,0)}

Come devo procedere??

Grazie a tutti in anticipo!

Risposte

FiorediLoto2

13 gen 2010, 18:45

sto sbattendo la testa su questo esercizio e sto facendo questo procedimento, mi potete dire se è giusto o se sto sbagliando qualcosa?

ho creato la matrice A (5x5) formata dai vettori delle base canoniche

$((1,1,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,-1,0,0,0),(0,0,0,0,1),(0,0,0,0,0))$

il rango di questa matrice esce 4 quindi abbiamo infinite soluzioni che dipendono da un solo parametro

quindi la dim(V$nn$W)=1 ???

come devo procedere?

cirasa

14 gen 2010, 08:30

Una base di $V$ è $(e_1,e_1-e_3)$. Una base di $W$ è $(e_1,e_2,e_4)$.
Dalla teoria segue immediatamente che un sistema di generatori di $V+W$ è formato dai vettori $e_1,e_1-e_3,e_1,e_2,e_4$.
Da questi 5 vettori puoi estrarre una base $V+W$, da cui si ottiene la dimensione e l'equazione cartesiana.
Dalla formula di Grassmann puoi ricavarti la dimensione di $V\cap W$.

Gatto891

14 gen 2010, 11:43

Alternativamente, puoi vedere che $e_1 \in V$ per costruzione, e $e_3 \in V$ perchè $e_3 = e_1 -(e_1 -e_3)$, quindi per motivi di dimensione $V = L(e_1, e_3)$.

E da qui l'esercizio è in discesa...

FiorediLoto2

15 gen 2010, 17:07

ho provato a risvolgere l'esercizio ma la soluzione pare impossibile dato che dim(V$nn$W) mi esce -1 !!

1) per prima cosa ho calcolato la dimV=2 (linearm indipendenti) e dimW=3 (essendo basi canoniche sono linearmente indipendenti)

2) ho trovato il rango (e quindi la dimensione di V+W) della matrice formata da tutti e cinque i vettori dei sottospazi: il rango esce uguale a 4!

quindi per la formula di grassman:

dim(V+W)=dimV + dimW -dim(V$nn$W)
4=5-x
x=-1

E' possibile cio'??