Spazi e sottospazi vettoriali
Ciao a tutti! Propongo un esercizio per cercare di chiarire alcuni (molti 
) miei dubbi sugli spazi vettoriali e le reciproche operazioni:
Siano dati in $RR^4$ i seguenti sottospazi vettoriali:
$U={(x,y,z,w): x+y-w-z=0}$
$V={(x,y,z,w): x+y+w+z=0}$
Si determini la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi:
$U$, $V$, $UnnV$, $U+V$.
Allora, so che un inseime di vettori, per essere una base di uno spazio/sottospazio, devono essere linearmente indipendenti e generatori dello spazio/ sottospazio in questione.
So anche che $dim(U+V)=dim U+ dim V - dim (UnnV)$
ma, da dove inizio?
) miei dubbi sugli spazi vettoriali e le reciproche operazioni:Siano dati in $RR^4$ i seguenti sottospazi vettoriali:
$U={(x,y,z,w): x+y-w-z=0}$
$V={(x,y,z,w): x+y+w+z=0}$
Si determini la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi:
$U$, $V$, $UnnV$, $U+V$.
Allora, so che un inseime di vettori, per essere una base di uno spazio/sottospazio, devono essere linearmente indipendenti e generatori dello spazio/ sottospazio in questione.
So anche che $dim(U+V)=dim U+ dim V - dim (UnnV)$
ma, da dove inizio?
Risposte
"Sergio":
Hai già trovato una base per $U$, ${(-1,1,0);(-1,0,1)}$, ed una per $V$, ${(0,0,1)}$.
Ora:
1) $U$, essendo il nucleo, è l'autospazio relativo all'autovalore nullo. Nulla vieta di immaginare che tale autovalore abbia molteplicità algebrica uguale a quella geometrica che, non essendo altro che la dimensione di $U$, è 2;
2) $V$ può essere visto come l'autospazio generato da un autovalore di molteplicità algebrica e geometrica 1, e poniamo che tale autovalore sia $1$.
3) Indicando con $\Lambda$ la matrice diagonale che ha gli autovalori sulla diagonale principale, possiamo porre:
$\Lambda=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1))$
4) Questa matrice è simile alla matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle base canonica, $A$; si ha:
$\Lambda=N^-1AN$
dove $N$ è una matrice avente per colonne autovettori relativi agli autovalori, quindi possiamo porre:
$N=((-1,-1,0),(1,0,0),(0,1,1))$
5) Per trovare $A$, basta calcolare l'inversa di $N$ (matrice inversa e suo calcolo sono nel programma):
$A=N\Lambda N^-1=((-1,-1,0),(1,0,0),(0,1,1))((0,0,0),(0,0,0),(0,0,1))((0,1,0),(-1,-1,0),(1,1,1))=((0,0,0),(0,0,0),(1,1,1))$
Questo vuol dire che l'applicazione ad essa associata è:
$L_A((x),(y),(z))=((0),(0),(x+y+z))$.
In questo modo.... si risponde contemporaneamente anche altre altre domande dell'esercizio: hai già trovato autovalori e autovettori, hai un'applicazione ovviamente diagonalizzabile.
Provo a spiegare quello che ho capito, correggetemi se sbaglio:
si è cercato di risolvere il problema partendo dalla fine, nel senso che si è supposto che l'applicazione $L$ (da determinare) sia diagonalizzabile, per poter sfruttare il fatto che abbia 3 autovalori distinti.
la matrice $\Lambda$ è stata costruita "teoricamente", nel senso che, dato $U$ che deve essere il nucleo (e come tale è l'autospazio relativo all'autovalore nullo) e che sappiamo sia di $dim=2$, e dato $V$ che ha $dim=1$, si crea una matrice con gli autovalori sulla diagonale principale e quindi con 2 autovalori nulli (per $U$) e uno non nullo =1 (per $V$).
da lì poi è stata calcolata la matrice $A$ e l'applicazione $L$.
Due cose non mi sono molto chiare:
1)come è stata costruita $N$, cioè ho capito da dove "vengono" quei numeri ma non ho afferrato il perchè;
2)
"Sergio":
In questo modo.... si risponde contemporaneamente anche altre altre domande dell'esercizio: hai già trovato autovalori e autovettori.
e quali sono?
proporrei una cosa per risolvere i miei dubbi: vorrei cercare di creare una specie di linea guida che valga per tutti i casi possibili di questo esercizio, inipendentementa dai numeri o dalle variabili. Come si potrebbe risolvere in generale questo TIPO di esercizio? Quali sono i vari passaggi?
ci sono quasi: ancora qualche domanda:
1) se si verifica quanto decritto nel punto c) da Sergio, cioè in un ipotetico esercizio abbiamo che la somma delle dimensioni dei 2 sottospazi ($U$ e $V$) è uguale alla dim dello spazio di cui sono sottospazi e che la loro intersezione è nulla, allora devo costruirmi la matrice $\Lambda$ costituita dagli autovalori. per fare questo faccio:
a) trovo la base di $U$
b) trovo la base di $V$
e ho gli autovettori. da questi come mi calcolo gli autovalori? oppure sapendo che $U$ deve essere il nucleo ha come autovalore sempre $0$? e l'immagine (cioè $V$)?
2)e se il punto c) non si verifica?
1) se si verifica quanto decritto nel punto c) da Sergio, cioè in un ipotetico esercizio abbiamo che la somma delle dimensioni dei 2 sottospazi ($U$ e $V$) è uguale alla dim dello spazio di cui sono sottospazi e che la loro intersezione è nulla, allora devo costruirmi la matrice $\Lambda$ costituita dagli autovalori. per fare questo faccio:
a) trovo la base di $U$
b) trovo la base di $V$
e ho gli autovettori. da questi come mi calcolo gli autovalori? oppure sapendo che $U$ deve essere il nucleo ha come autovalore sempre $0$? e l'immagine (cioè $V$)?
2)e se il punto c) non si verifica?
no, io intendevo dire che, dopo aver calcolato le due basi, come faccio a calcolarmi gli autovalori? perchè sono abituato a calcolare gli autovalori tramite la matrice rappresentativa di una applicazione lineare. ma in questo caso non ho neanche l'applicazione lineare, quindi mi trovo un pò spiazzato.
ho trovato questa soluzione ma non mi quadrano alcune cose. comunque ditemi voi se sta bene, intanto cerco di capire.
Riporto il testo
Sia $UsubeRR^3$ il sottospazio così definito:
$U=(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0$
a)Determinare un sottospazio $VsubeRR^3$ tale che $U+V=RR^3$ e $UnnV={(0,0,0)}$
b)Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$
c)Determinare gli autovalori e gli autovettori di $L$
d)Stabilire se $L$ è diagonalizzabile.
Soluzione:
a) $dim(U+V) = dim(U)+dim(V)-dim(U nn V) $
$3 = 2 +dim(V)- 0 $
$dim(V)=1 $
siano:
($r$ generico elemento di $RR^3$)
($u$ generico elemento di $U$)
($v$ generico elemento di $V$)
$v=r-u=(x,y,z)-(x,y,-x-y)=(0,0,x+y+z)=(0,0,z) $
$B(V)={(0,0,1)} $
b) $L:R^3 \to R^3 $
$Ker(L)=U -> L(x,y,-x-y)=(0,0,0) $
$Im(L)=V -> L(x,y,z)=(0,0,z) $
$L(x,y,z)=(0,0,-x-y) $
c) $v=(v1,v2,v3)$
$p(x)=|A-xI| $
($A$ è la matrice rappresentativa di $L$)
$A=((1,0,0),(0,1,0),(-1,-1,0))$
($I$ è la matrice identità di ordine 3 in questo caso)
Si trovano gli autovalori:
$x=1 -> v=(v1,v2,-v1-v2)$ rispettivi autovettori
$x=0 -> v=(0,0,v3)$ rispettivi autovettori
d) Poichè $A$ è di ordine $3$ e poichè il polinomio caratteristico non ha $3$ soluzioni distinte $A$ non è diagonalizzabile.
Riporto il testo
Sia $UsubeRR^3$ il sottospazio così definito:
$U=(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0$
a)Determinare un sottospazio $VsubeRR^3$ tale che $U+V=RR^3$ e $UnnV={(0,0,0)}$
b)Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$
c)Determinare gli autovalori e gli autovettori di $L$
d)Stabilire se $L$ è diagonalizzabile.
Soluzione:
a) $dim(U+V) = dim(U)+dim(V)-dim(U nn V) $
$3 = 2 +dim(V)- 0 $
$dim(V)=1 $
siano:
($r$ generico elemento di $RR^3$)
($u$ generico elemento di $U$)
($v$ generico elemento di $V$)
$v=r-u=(x,y,z)-(x,y,-x-y)=(0,0,x+y+z)=(0,0,z) $
$B(V)={(0,0,1)} $
b) $L:R^3 \to R^3 $
$Ker(L)=U -> L(x,y,-x-y)=(0,0,0) $
$Im(L)=V -> L(x,y,z)=(0,0,z) $
$L(x,y,z)=(0,0,-x-y) $
c) $v=(v1,v2,v3)$
$p(x)=|A-xI| $
($A$ è la matrice rappresentativa di $L$)
$A=((1,0,0),(0,1,0),(-1,-1,0))$
($I$ è la matrice identità di ordine 3 in questo caso)
Si trovano gli autovalori:
$x=1 -> v=(v1,v2,-v1-v2)$ rispettivi autovettori
$x=0 -> v=(0,0,v3)$ rispettivi autovettori
d) Poichè $A$ è di ordine $3$ e poichè il polinomio caratteristico non ha $3$ soluzioni distinte $A$ non è diagonalizzabile.
Riporto un pezzo tratto da http://it.wikipedia.org/wiki/Diagonalizzabilit%C3%A0
Generalmente, per vedere se una applicazione è diagonalizzabile si prende una base qualsiasi e la si traduce in matrice quadrata $n x n$. Quindi si studia se la matrice ottenuta è diagonalizzabile, calcolandone il polinomio caratteristico, gli autovalori con la loro molteplicità, e quindi usando il teorema di diagonalizzabilità. Elenchiamo qui due situazioni in cui è più facile dare una risposta:
se il polinomio caratteristico ha $n$ radici distinte (ciascuna con molteplicità algebrica 1), la matrice è diagonalizzabile;
se la somma delle molteplicità algebriche delle radici del polinomio caratteristico è minore di $n$, allora la matrice non è diagonalizzabile.
Generalmente, per vedere se una applicazione è diagonalizzabile si prende una base qualsiasi e la si traduce in matrice quadrata $n x n$. Quindi si studia se la matrice ottenuta è diagonalizzabile, calcolandone il polinomio caratteristico, gli autovalori con la loro molteplicità, e quindi usando il teorema di diagonalizzabilità. Elenchiamo qui due situazioni in cui è più facile dare una risposta:
se il polinomio caratteristico ha $n$ radici distinte (ciascuna con molteplicità algebrica 1), la matrice è diagonalizzabile;
se la somma delle molteplicità algebriche delle radici del polinomio caratteristico è minore di $n$, allora la matrice non è diagonalizzabile.
aspetta.... ti cito un corollario preso dal libro dato per l'esame che è "Algebra e matematica discreta" di Alberto Facchini che dice:
"Se una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ ha $n$ autovalori distinti, allora $A$ è diagonalizzabile".
"Se una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ ha $n$ autovalori distinti, allora $A$ è diagonalizzabile".
ragazzi scusate ho fatto un casino: mi sono accorto solo ora di aver già inserito questo esercizio in un topic, esattamente questo: http://www.matematicamente.it/forum/somma-e-intersezione-di-spazi-vettoriali-t34106.html. quindi chiedo scusa per questo mio errore. ho inserito un nuovo messaggio di risposta in quel topic per vedere se il metodo usato da Lord K è più vicino alle mie reali esigenze. Questo non significa che le cose dette quì non mi siano state d'aiuto, anzi vi ringrazio.
non voglio assolutamente creare "concorrenza" (e spero che nessuno lo pensi), ma ripeto è stato solo un errore.
Per rispondere a Sergio, evidentemente il programma scelto per l'esame è diciamo una versione "light", e il libro in dotazione parla di diagonalizzazione facendo riferimento solo al corollario che ho citato prima. quindi, anche se quello che dici tu è verissimo, io preferisco limitarmi a quella definizione, almeno in sede d'esame. poi se in realtà la definizione di diagonalizzazione è più completa e ampia, sarà una "scoperta" che tengo per me.
non voglio assolutamente creare "concorrenza" (e spero che nessuno lo pensi), ma ripeto è stato solo un errore.
Per rispondere a Sergio, evidentemente il programma scelto per l'esame è diciamo una versione "light", e il libro in dotazione parla di diagonalizzazione facendo riferimento solo al corollario che ho citato prima. quindi, anche se quello che dici tu è verissimo, io preferisco limitarmi a quella definizione, almeno in sede d'esame. poi se in realtà la definizione di diagonalizzazione è più completa e ampia, sarà una "scoperta" che tengo per me.
sembrerà strano ma in tutto il capitolo su autovettori e autovalori, e quindi diagonalizzabilità, non c'è un teorema. solo corollari e proposizioni
prima del corollario citato c'è un altro corollario:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$. Allora
(a) $f$ ha al più $n$ autovalori distinti;
(b) se $f$ ha esattamente $n$ autovalori distinti, allora $V$ ha una base composta tutta da autovettori di $f$, e rispetto a tale base la matrice di $f$ è una matrice diagonale.
prima ancora c'è questa proposizione:
Siano $K$ un campo, $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e $f$ un endomorfismo di $V$. Siano $v1,v2,....,vn in V$ autovettori di $f$ relativi ad autovalori $\lambda1,\lambda2,......,\lambda n$ rispettivamente. Se $\lambda1,\lambda2,......,\lambda n$ sono a due a due distinti, allora $v1,v2,....,vn$ sono linearmente indipendenti.
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$. Allora
(a) $f$ ha al più $n$ autovalori distinti;
(b) se $f$ ha esattamente $n$ autovalori distinti, allora $V$ ha una base composta tutta da autovettori di $f$, e rispetto a tale base la matrice di $f$ è una matrice diagonale.
prima ancora c'è questa proposizione:
Siano $K$ un campo, $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e $f$ un endomorfismo di $V$. Siano $v1,v2,....,vn in V$ autovettori di $f$ relativi ad autovalori $\lambda1,\lambda2,......,\lambda n$ rispettivamente. Se $\lambda1,\lambda2,......,\lambda n$ sono a due a due distinti, allora $v1,v2,....,vn$ sono linearmente indipendenti.
non voglio fare polemica perchè, come si è visto, non ne sono all'altezza. l'unica cosa che posso e che voglio dire è: lasciando stare il fatto che il corollario "incriminato" è il 44.11 e l'esercizio di cui parla il Sig. Alberto Facchini è il 44.7, quindi precedente alla definizione di diagonalizzabilità. il problema principale è che: io , comune mortale (e come me penso ce ne siano tanti altri), come faccio a capire che la matrice proposta nell'esercizio 44.7 è diagonalizzabile se ancora non so che significa diagonalizzabile e se non c'è scritto che è diagonalizzabile? giusto per fare un esempio: provate a far vedere a un bambino di 2 anni un "animale" e poi dopo due/tre giorni gli dite che il gatto è un animale che ha una coda e quattro zampe. secondo voi il bambino, con le informazione che ha, è in grado di dire che l'animale che aveva visto due/tre giorni prima era un gatto?
io non voglio le cose servite su un piatto d'argento, ma almeno posso sapere come fare ad ottenerle? a volte le cose, per chi le sa, sono scontate, per chi non le sa, sono problemi apparentemente insormontabili.
scusate per lo sfogo.
Comunque grazie Sergio.
io non voglio le cose servite su un piatto d'argento, ma almeno posso sapere come fare ad ottenerle? a volte le cose, per chi le sa, sono scontate, per chi non le sa, sono problemi apparentemente insormontabili.
scusate per lo sfogo.
Comunque grazie Sergio.
scusate, per dirla in parole semplici:
la molteplicità algebriga è il numero di volte che si ripete un autovalore
la molteplicità geometrica è il numero di autovettori che ha un autovalore
è giusto? è possibile vedere un esempio in cui la molteplicità geometrica è $>1$?
la molteplicità algebriga è il numero di volte che si ripete un autovalore
la molteplicità geometrica è il numero di autovettori che ha un autovalore
è giusto? è possibile vedere un esempio in cui la molteplicità geometrica è $>1$?
"Sergio":
d) Esempio di molteplicità geometrica maggiore di 1
Lo trovi qui in un mio precedente messaggio: http://www.matematicamente.it/forum/post282637.html#282637: l'autovalore 0 ha molteplicità geometrica 2 e infatti il corrispondente autospazio, il kernel (indicato con $U$), ha dimensione 2.
La matrice $A$ della tua soluzione ha invece un autovalore 1 di molteplicità algebrica e geometrica 2.
forse finalmente ci sono:
faccio un esempio: la matrice A $A=((1,0,0),(0,1,0),(-1,-1,0))$ proposta nella "mia" soluzione ha come autovalore 1 con molteplicità algebrica 2. se vado a ricavare gli autovettori relativi all'autovalore 1, alla fine trovo che sono del tipo $v=((-\alpha - \beta),(\alpha),(\beta))$. e questo è l'autospazio. se dovessi calcolare una base di questo autospazio avrei $(\alpha((-1),(1),(0)),\beta((-1),(0),(-1)))$ quindi di dimensione 2. quindi ha molteplicità geometrica 2.
giusto?
"Sergio":
Risalire agli autovettori, in esercizi come quello, è semplice: $0$ per il nucleo (dim. 2), $1$ per $V$ (dim. 1).
volevi dire autovalori, non autovettori?
dai che mi sento vicino alla fine di quest'odissea (almeno per questo esercizio). 
propongo e risolvo un esercizio per chiarire un dubbio:
sia $U sube RR^4$ con $U={(x,y,z,w) in RR^4 : x+y-w-z=0}$
a) determinare un sottospazio $V sube RR^4$ tale che $U+V=RR^4$ e $UnnV={(0,0,0)}$
b) Determinare un'applicazione lineare $L$ con nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$
c)determinare gli autovalori e gli autovettori di $L$
d)stabilire se $L$ è diagonalizzabile
Soluzione:
a) $dim(U)=3$ perchè una sua base è $((\alpha),(\beta),(\gamma),(\alpha+\beta-\gamma))=\alpha((1),(0),(0),(1)) + \beta ((0),(1),(0),(1)) +\gamma ((0),(0),(1),(-1))$, quinidi ${(1,0,0,1);(0,1,0,1);(0,0,1,-1)}$ sostituendo $\alpha =x$, $\beta=y$, $\gamma=z$.
Tornando a $V$: dato che devo avere $U+V=RR^4$ prendo un generico elemento di $RR^4$ e sottraggo un generico elemento di $U$:
$(x,y,z,w)-(x,y,z,x+y-z)=(0,0,0,w-x-y+z)=(0,0,0,1)$ che è base di $V$ e quindi $dim(V)=1$.
b)ora ho le basi di $U$ e di $V$. le basi di $U$ e di $V$, costituite da autovettori, messe insieme costituiscono una base di autovettori per $RR^4$.
la matrice rispetto ad una base di autovettori è la matrice $\Lambda$ costituita dagli autovalori.
per trovare la matrice associata alla base canonica: $A=N\Lambda N^(-1)$, dove $N$ è la matrice cha ha per colonne gli autovettori (matrice di cambiamento di base da quella costituita da autovettori alla canonica).
e quì mi fermo: dato che $U$ deve essere il nucleo e che $V$ deve essere l'immagine dell'applicazione lineare, devo mettere, per $U$ l'autovalore $0$, con molteplicità algebrica $3$, dato che $dim(U)=3$ e, per $V$, l'autovalore $1$ con moltiplicità algebrica e geometrica 1? e quindi la matrice $\Lambda = ((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$ è giusta?
Se ho pensato bene, allora devo sempre fare così con questi tipi di esercizi?
se ho sbagliato, non so cosa devo fare!!!
propongo e risolvo un esercizio per chiarire un dubbio:
sia $U sube RR^4$ con $U={(x,y,z,w) in RR^4 : x+y-w-z=0}$
a) determinare un sottospazio $V sube RR^4$ tale che $U+V=RR^4$ e $UnnV={(0,0,0)}$
b) Determinare un'applicazione lineare $L$ con nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$
c)determinare gli autovalori e gli autovettori di $L$
d)stabilire se $L$ è diagonalizzabile
Soluzione:
a) $dim(U)=3$ perchè una sua base è $((\alpha),(\beta),(\gamma),(\alpha+\beta-\gamma))=\alpha((1),(0),(0),(1)) + \beta ((0),(1),(0),(1)) +\gamma ((0),(0),(1),(-1))$, quinidi ${(1,0,0,1);(0,1,0,1);(0,0,1,-1)}$ sostituendo $\alpha =x$, $\beta=y$, $\gamma=z$.
Tornando a $V$: dato che devo avere $U+V=RR^4$ prendo un generico elemento di $RR^4$ e sottraggo un generico elemento di $U$:
$(x,y,z,w)-(x,y,z,x+y-z)=(0,0,0,w-x-y+z)=(0,0,0,1)$ che è base di $V$ e quindi $dim(V)=1$.
b)ora ho le basi di $U$ e di $V$. le basi di $U$ e di $V$, costituite da autovettori, messe insieme costituiscono una base di autovettori per $RR^4$.
la matrice rispetto ad una base di autovettori è la matrice $\Lambda$ costituita dagli autovalori.
per trovare la matrice associata alla base canonica: $A=N\Lambda N^(-1)$, dove $N$ è la matrice cha ha per colonne gli autovettori (matrice di cambiamento di base da quella costituita da autovettori alla canonica).
e quì mi fermo: dato che $U$ deve essere il nucleo e che $V$ deve essere l'immagine dell'applicazione lineare, devo mettere, per $U$ l'autovalore $0$, con molteplicità algebrica $3$, dato che $dim(U)=3$ e, per $V$, l'autovalore $1$ con moltiplicità algebrica e geometrica 1? e quindi la matrice $\Lambda = ((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$ è giusta?
Se ho pensato bene, allora devo sempre fare così con questi tipi di esercizi?
se ho sbagliato, non so cosa devo fare!!!
ok. ho capito!!!
solo una domanda mi è rimasta sulla diagonalizzazione:
molto spesso nel mio esame ci sono esercizi tipo questo:
Per ogni $\alpha in RR$ sia data l'applicazione lineare $L_\alpha : RR^3 to RR^3$ così definita $L_\alpha ((x,y,z)) = (2x+y+z,\alpha y+z, z)$.
Determinare per quali valori di $\alpha$, $L_\alpha$ è diagonalizzabile.
io fino ad ora ho sempre trovato quale valore di $\alpha$ faccia uscire esattamente $n$ soluzioni distinte al polinomio caratteristico, cioè $n$ autovalori, dove $n$ è la dimensione della matrice quadrata associata all'applicazione lineare.
Anche dopo aver conosciuto la vera definizione di diagonalizzabilità, penso che questo ragionamento non sia sbagliato. forse ci sono anche altre strade?
Ah, Sergio com'è andato l'esame?
solo una domanda mi è rimasta sulla diagonalizzazione:
molto spesso nel mio esame ci sono esercizi tipo questo:
Per ogni $\alpha in RR$ sia data l'applicazione lineare $L_\alpha : RR^3 to RR^3$ così definita $L_\alpha ((x,y,z)) = (2x+y+z,\alpha y+z, z)$.
Determinare per quali valori di $\alpha$, $L_\alpha$ è diagonalizzabile.
io fino ad ora ho sempre trovato quale valore di $\alpha$ faccia uscire esattamente $n$ soluzioni distinte al polinomio caratteristico, cioè $n$ autovalori, dove $n$ è la dimensione della matrice quadrata associata all'applicazione lineare.
Anche dopo aver conosciuto la vera definizione di diagonalizzabilità, penso che questo ragionamento non sia sbagliato. forse ci sono anche altre strade?
Ah, Sergio com'è andato l'esame?
"Sergio":
Be', direi che dipende caso per caso. In questo caso, va bene qualsiasi $alpha$ diverso da $1$ e da $2$ (quindi tre autovalori distinti), perché per $\alpha=1$ (o $2$) hai un autovalore $1$ (o $2$) di $m_a$ 2 e... $m_g$ 1.
Se così non fosse, se cioè per $alpha=1$ (o $2$) avessi $m_a=m_g$, una risposta del tipo "$alpha$ diverso da $1$ e da $2$" sarebbe incompleta.
Avresti per caso un esempio completo di tutti i casi possibili?
"Sergio":
[quote="kind85"]Ah, Sergio com'è andato l'esame?
Molto bene
[/quote]Non ne avevo dubbi!vorrei esporre un altro esercizio, sempre sulle applicazioni lineari, ma diverso da quelli che abbiamo visto quì. che faccio: apro un'altro topic?
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