Spazi e sottospazi vettoriali
Ciao a tutti! Propongo un esercizio per cercare di chiarire alcuni (molti 
) miei dubbi sugli spazi vettoriali e le reciproche operazioni:
Siano dati in $RR^4$ i seguenti sottospazi vettoriali:
$U={(x,y,z,w): x+y-w-z=0}$
$V={(x,y,z,w): x+y+w+z=0}$
Si determini la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi:
$U$, $V$, $UnnV$, $U+V$.
Allora, so che un inseime di vettori, per essere una base di uno spazio/sottospazio, devono essere linearmente indipendenti e generatori dello spazio/ sottospazio in questione.
So anche che $dim(U+V)=dim U+ dim V - dim (UnnV)$
ma, da dove inizio?
) miei dubbi sugli spazi vettoriali e le reciproche operazioni:Siano dati in $RR^4$ i seguenti sottospazi vettoriali:
$U={(x,y,z,w): x+y-w-z=0}$
$V={(x,y,z,w): x+y+w+z=0}$
Si determini la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi:
$U$, $V$, $UnnV$, $U+V$.
Allora, so che un inseime di vettori, per essere una base di uno spazio/sottospazio, devono essere linearmente indipendenti e generatori dello spazio/ sottospazio in questione.
So anche che $dim(U+V)=dim U+ dim V - dim (UnnV)$
ma, da dove inizio?
Risposte
Per quanto riguarda $U$, hai una equazione con quattro parametri, di conseguenza puoi inserire tre parametri liberi. Posto $y := \alpha$, $z := \beta$, $w := \gamma$, risulta $x = -\alpha + \beta + \gamma$, quindi il generico vettore di $U$ vale
$((-\alpha + \beta + \gamma),(\alpha),(\beta),(\gamma)) = \alpha ((-1),(1),(0),(0)) + \beta ((1),(0),(1),(0)) + \gamma ((1),(0),(0),(1))$
Quindi una base per $U$ è l'insieme
$\{((-1),(1),(0),(0)), ((1),(0),(1),(0)), ((1),(0),(0),(1))\}$
e $U$ ha dimensione $3$. Con un procedimento analogo ti calcoli una base di $V$ (si vede da subito che anche $V$ ha dimensione tre). L'equazione cartesiana di $U \cap V$ è
$\{(x + y - w - z = 0),(x + y + w + z = 0):}$
Inserendo opportunamente due parametri liberi (dato che hai quattro incognite e due equazione linearmente indipendenti) puoi trovare una base di $U \cap V$ (si vede da subito che tale spazio vettoriale ha dimensione $2$). Dalla relazione di Grassmann si nota che $U + V$ ha dimensione $4$, dunque $U + V = \mathbb{R}^4$.
$((-\alpha + \beta + \gamma),(\alpha),(\beta),(\gamma)) = \alpha ((-1),(1),(0),(0)) + \beta ((1),(0),(1),(0)) + \gamma ((1),(0),(0),(1))$
Quindi una base per $U$ è l'insieme
$\{((-1),(1),(0),(0)), ((1),(0),(1),(0)), ((1),(0),(0),(1))\}$
e $U$ ha dimensione $3$. Con un procedimento analogo ti calcoli una base di $V$ (si vede da subito che anche $V$ ha dimensione tre). L'equazione cartesiana di $U \cap V$ è
$\{(x + y - w - z = 0),(x + y + w + z = 0):}$
Inserendo opportunamente due parametri liberi (dato che hai quattro incognite e due equazione linearmente indipendenti) puoi trovare una base di $U \cap V$ (si vede da subito che tale spazio vettoriale ha dimensione $2$). Dalla relazione di Grassmann si nota che $U + V$ ha dimensione $4$, dunque $U + V = \mathbb{R}^4$.
"Tipper":
Per quanto riguarda $U$, hai una equazione con quattro parametri, di conseguenza puoi inserire tre parametri liberi. Posto $y := \alpha$, $z := \beta$, $w := \gamma$, risulta $x = -\alpha + \beta + \gamma$, quindi il generico vettore di $U$ vale
$((-\alpha + \beta + \gamma),(\alpha),(\beta),(\gamma)) = \alpha ((-1),(1),(0),(0)) + \beta ((1),(0),(1),(0)) + \gamma ((1),(0),(0),(1))$
Quindi una base per $U$ è l'insieme
$\{((-1),(1),(0),(0)), ((1),(0),(1),(0)), ((1),(0),(0),(1))\}$
e $U$ ha dimensione $3$. Con un procedimento analogo ti calcoli una base di $V$ (si vede da subito che anche $V$ ha dimensione tre).
Ok, ci sono.
"Tipper":
L'equazione cartesiana di $U \cap V$ è
$\{(x + y - w - z = 0),(x + y + w + z = 0):}$
Inserendo opportunamente due parametri liberi (dato che hai quattro incognite e due equazione linearmente indipendenti) puoi trovare una base di $U \cap V$ (si vede da subito che tale spazio vettoriale ha dimensione $2$).
risolvendo il sistema ho che $\{(w=-z),(x = y):}$, che è la base di $U \cap V$?
"Tipper":e per indicare la base?
Dalla relazione di Grassmann si nota che $U + V$ ha dimensione $4$, dunque $U + V = \mathbb{R}^4$.
scusate ma questa parte non mi entra proprio in testa.
"kind85":
risolvendo il sistema ho che $\{(w=-z),(x = y):}$, che è la base di $U \cap V$?
Poni $y := \alpha$ e $z = \beta$, poi ragiona come sopra.
"kind85":
e per indicare la base?
Ti basta prendere quattro vettori linearmente indipendenti (considera ad esempio la base canonica).
Ok, ho capito. ho trovato un'altro esercizio che mi sta dando qualche problema:
Sia $UsubeRR^3$ il sottospazio così definito:
$U=(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0$
a)Determinare un sottospazio $VsubeRR^3$ tale che $U+V=RR^3$ e $UnnV={(0,0,0)}$
b)Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$
c)Determinare gli autovalori e gli autovettori di $L$
d)Stabilire se $L$ è diagonalizzabile.
a)devo trovare la dimensione di $U$ per poter sfruttare la regola di Grassmann $dim(U) + dim(V)=dim(U+V)+dim(UnnV)$
allora, visto che $U$ ha un equazione con 3 parametri, posso avere 2 parametri liberi. quindi sostituisco $y=\alpha$ e $z=\beta$ e trovo che $x=-\alpha-\beta$. Quindi un generico vettore di $U$ vale:
$((-\alpha-\beta),(\alpha),(\beta))=\alpha((-1),(1),(0))+\beta((-1),(0),(1))$
Quindi $dim(U)=2$.
Allora, sempre dalla regola di Grassmann ho che $dim(V)=1$.
E poi, come faccio a calcolare $V$?
Sia $UsubeRR^3$ il sottospazio così definito:
$U=(x,y,z) in RR^3 : x+y+z=0$
a)Determinare un sottospazio $VsubeRR^3$ tale che $U+V=RR^3$ e $UnnV={(0,0,0)}$
b)Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$
c)Determinare gli autovalori e gli autovettori di $L$
d)Stabilire se $L$ è diagonalizzabile.
a)devo trovare la dimensione di $U$ per poter sfruttare la regola di Grassmann $dim(U) + dim(V)=dim(U+V)+dim(UnnV)$
allora, visto che $U$ ha un equazione con 3 parametri, posso avere 2 parametri liberi. quindi sostituisco $y=\alpha$ e $z=\beta$ e trovo che $x=-\alpha-\beta$. Quindi un generico vettore di $U$ vale:
$((-\alpha-\beta),(\alpha),(\beta))=\alpha((-1),(1),(0))+\beta((-1),(0),(1))$
Quindi $dim(U)=2$.
Allora, sempre dalla regola di Grassmann ho che $dim(V)=1$.
E poi, come faccio a calcolare $V$?
Una possibile soluzione potrebbe essere scegliere $V = U^{\bot}$. Dato che $U$ è un piano passante per l'origine $V$ sarebbe la retta ad esso perpendicolare passante per l'origine. Sai come fare a scriverne l'equazione cartesiana?
no, veramente non ci sono nel programma dell'esame, quindi anche risolvendo l'esercizio come dici tu Tipper non credo che vada bene.
Scusa, cosa non c'è nel programma d'esame? 
Non ci sono i complementi ortogonali?
In ogni caso, se proprio non ti piace $V = U^{\bot}$, puoi scegliere $V$ come lo spazio generato da un generico vettore di $\mathbb{R}^3$ non appartenente ad $U$.
Non ci sono i complementi ortogonali?In ogni caso, se proprio non ti piace $V = U^{\bot}$, puoi scegliere $V$ come lo spazio generato da un generico vettore di $\mathbb{R}^3$ non appartenente ad $U$.
no
Vi avranno però pur detto (all'esame di Geometria o di chissà cos'altro) come fare a scrivere l'equazione di una retta perpendicolare ad un piano...
no, è di matematica discreta (seconda parte). Comunque il programma è questo, se ti può essere utile:
Numeri Complessi
Numeri complessi, parte reale e parte immaginaria, forma cartesiana, forma polare, modulo, argomento, l'esponenziale complesso, elevamento a potenza, formula di De Moivre, estrazione di radice.
Matrici
Definizione di matrici, somma, prodotto per scalari, prodotto righe per colonne, traccia, sottomatrici, matrici triangolari, diagonali, trasposizione, matrici simmetriche, permutazioni e segno, determinante, minori complementari, complemento algebrico, Teorema di Laplace, Teorema di Binet, condizioni di non singolarita' per una matrice, matrice inversa e suo calcolo, determinante e volumi, proprietà del determinante, matrici ortogonali, vettori ortonormali.
Spazi vettoriali
Definizione, struttura algebrica, esempi: polinomi e prodotti cartesiani di campi, matrici rettangolari, lo spazio canonico, sottospazi, intersezione e somma, somma diretta, Formula di Grassmann, combinazioni lineari, caratterizzazione dei sottospazi, chiusura lineare, sistemi di generatori, matrici elementari, vettori standard, spazio dele righe e/o delle colonne, indipendenza lineare, criteri per la dipendenza lineare, basi, caratterizzazione delle basi, esempi, dimensione, rango di una matrice: varie definizioni, calcolo del rango, Teorema di Kronecker, matrici orlate.
Sistemi lineari
Definizione ed esempi, sistemi omogenei, traduzione matriciale, Teorema di Rouché-Capelli, metodi risolutivi, regola di Cramer, spazio delle soluzioni di un sistema e del sistema omogeneo associato.
Applicazioni lineari
Definizione, nucleo, immagine e loro proprietà, Teorema nullità + rango, esistenza ed unicità di applicazioni lineari, estensione lineare, iniettività, matrici associate, cambiamenti di base.
Similitudine e diagonalizzabilità
Definizione, relazioni di equivalenza, diagonalizzabilità, invarianti di classi di similitudine, polinomio caratteristico,interpretazione di alcuni dei suoi coefficienti, autovalori e autovettori, estensione del campo, autospazi, indipendenza tra autovettori, molteplicità algebrica e geometrica, spettro, regolarità di autovalori, criteri di diagonalizzabilità, Teorema di Cayley-Hamilton.
Numeri Complessi
Numeri complessi, parte reale e parte immaginaria, forma cartesiana, forma polare, modulo, argomento, l'esponenziale complesso, elevamento a potenza, formula di De Moivre, estrazione di radice.
Matrici
Definizione di matrici, somma, prodotto per scalari, prodotto righe per colonne, traccia, sottomatrici, matrici triangolari, diagonali, trasposizione, matrici simmetriche, permutazioni e segno, determinante, minori complementari, complemento algebrico, Teorema di Laplace, Teorema di Binet, condizioni di non singolarita' per una matrice, matrice inversa e suo calcolo, determinante e volumi, proprietà del determinante, matrici ortogonali, vettori ortonormali.
Spazi vettoriali
Definizione, struttura algebrica, esempi: polinomi e prodotti cartesiani di campi, matrici rettangolari, lo spazio canonico, sottospazi, intersezione e somma, somma diretta, Formula di Grassmann, combinazioni lineari, caratterizzazione dei sottospazi, chiusura lineare, sistemi di generatori, matrici elementari, vettori standard, spazio dele righe e/o delle colonne, indipendenza lineare, criteri per la dipendenza lineare, basi, caratterizzazione delle basi, esempi, dimensione, rango di una matrice: varie definizioni, calcolo del rango, Teorema di Kronecker, matrici orlate.
Sistemi lineari
Definizione ed esempi, sistemi omogenei, traduzione matriciale, Teorema di Rouché-Capelli, metodi risolutivi, regola di Cramer, spazio delle soluzioni di un sistema e del sistema omogeneo associato.
Applicazioni lineari
Definizione, nucleo, immagine e loro proprietà, Teorema nullità + rango, esistenza ed unicità di applicazioni lineari, estensione lineare, iniettività, matrici associate, cambiamenti di base.
Similitudine e diagonalizzabilità
Definizione, relazioni di equivalenza, diagonalizzabilità, invarianti di classi di similitudine, polinomio caratteristico,interpretazione di alcuni dei suoi coefficienti, autovalori e autovettori, estensione del campo, autospazi, indipendenza tra autovettori, molteplicità algebrica e geometrica, spettro, regolarità di autovalori, criteri di diagonalizzabilità, Teorema di Cayley-Hamilton.
Commento con un "umpf"... in ogni caso hai l'hint precedente, ovvero considerare un vettore non in $U$.
quindi, visto che deve essere di dimensione=1 posso anche dire $V=(x,y,z)inRR^3 : x=0,y=0$ ?
Sì, va bene.
Ok, il punto a) è finito. passiamo al punto b)
Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$.
Per il nucleo, devo vedere quando $U$ è uguale a 0, cioè i valori dei parametri $x,y,z$ affinchè $x+y+z=0$?
Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$.
Per il nucleo, devo vedere quando $U$ è uguale a 0, cioè i valori dei parametri $x,y,z$ affinchè $x+y+z=0$?
L'applicazione (lineare) che cerchi è $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, pertanto sarà rappresentata da una matrice $A$ di ordine $3 \times 3$ a coefficienti reali. Dato che il nucleo deve essere $U$, allora
$A ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$
deve coincidere con l'equazione cartesiana di $U$. Se uno sceglie
$A = ((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
per quanto riguarda il ker è a posto, ma deve mettere a posto l'immagine. $V$ è generato dal vettore $((0),(0),(1))$, mentre l'immagine di questa matrice coincide con lo spazio generato da $((1),(0),(0))$. Cosa potresti fare per mettere a posto le cose?
$A ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$
deve coincidere con l'equazione cartesiana di $U$. Se uno sceglie
$A = ((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
per quanto riguarda il ker è a posto, ma deve mettere a posto l'immagine. $V$ è generato dal vettore $((0),(0),(1))$, mentre l'immagine di questa matrice coincide con lo spazio generato da $((1),(0),(0))$. Cosa potresti fare per mettere a posto le cose?
"Tipper":
L'applicazione (lineare) che cerchi è $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, pertanto sarà rappresentata da una matrice $A$ di ordine $3 \times 3$ a coefficienti reali. Dato che il nucleo deve essere $U$, allora
$A ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$
deve coincidere con l'equazione cartesiana di $U$. Se uno sceglie
$A = ((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))$
per quanto riguarda il ker è a posto,
cioè? qual'è l'equazione cartesiana d $U$?
scusate se sto facendo domande che possono sembrare stupide o banali, ma su queste cose sono proprio ignorante, e forse è meglio rispondermi come tale.
L'equazione cartesiana di $U$ è $x + y + z = 0$.
Determinare un'applicazione lineare $L$ con Nucleo uguale a $U$ e Immagine uguale a $V$.
io so che se devo determinare il nucleo di un'applicazione $f$ devo trovare i valori per cui $f$ sia uguale a $0$.
Es. $f(x,y,z)=(x+3y+5z,2y+z,y+2z)$. il nucleo di questa applicazione lineare lo trovo facendo $f(x,y,z)=(0,0,0)$ e quindi avrò il sistema
$\{(x + 3y + 5z = 0),(2y + z =0),(y+2z =0):}$
Risolvendolo trovo $x=0, y=0, z=0$
Ora, come faccio a dire che il nucleo di un'applicazione lineare è uguale a $U$? Non riesco a capire cosa vuol dire. Forse sbaglio nel concetto!
io so che se devo determinare il nucleo di un'applicazione $f$ devo trovare i valori per cui $f$ sia uguale a $0$.
Es. $f(x,y,z)=(x+3y+5z,2y+z,y+2z)$. il nucleo di questa applicazione lineare lo trovo facendo $f(x,y,z)=(0,0,0)$ e quindi avrò il sistema
$\{(x + 3y + 5z = 0),(2y + z =0),(y+2z =0):}$
Risolvendolo trovo $x=0, y=0, z=0$
Ora, come faccio a dire che il nucleo di un'applicazione lineare è uguale a $U$? Non riesco a capire cosa vuol dire. Forse sbaglio nel concetto!
$f(x,y,z) = ((0),(0),(0))$ altro non è se non l'equazione cartesiana del nucleo. Se $A$ è la matrice che rappresenta $f$, allora $f(x,y,z) = A ((x),(y),(z))$. Di conseguenza, la matrice $A$ che ho definito nel post precedente, ha come nucleo proprio $U$, dato che $A ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$ coincide proprio con l'equazione cartesiana di $U$.
"Tipper":
$f(x,y,z) = ((0),(0),(0))$ altro non è se non l'equazione cartesiana del nucleo. Se $A$ è la matrice che rappresenta $f$, allora $f(x,y,z) = A ((x),(y),(z))$. Di conseguenza, la matrice $A$ che ho definito nel post precedente, ha come nucleo proprio $U$, dato che $A ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(0))$ coincide proprio con l'equazione cartesiana di $U$.
$((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))((x),(y),(z)) = ((x+y+z),(0),(0))$. e quindi?
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo