Spazi e sottospazi vettoriali
In $V^3$ sono dati
1) una base ortonormale $\mathcal{B}{i,j,k}$
2) un vettore $vec{w}=3i-j+k$
Determinare i sottoinsiemi
$S_1={v in V^3; \ vec{v} cdot vec{w}=2}$;
$S_2={u in V^3; \ vec{u} ^^ vec{w}=i+3j}$;
e stabilire quali di essi è sottospazio
1) una base ortonormale $\mathcal{B}{i,j,k}$
2) un vettore $vec{w}=3i-j+k$
Determinare i sottoinsiemi
$S_1={v in V^3; \ vec{v} cdot vec{w}=2}$;
$S_2={u in V^3; \ vec{u} ^^ vec{w}=i+3j}$;
e stabilire quali di essi è sottospazio
Risposte
Nessuno dei due direi...
Per $S_1$ ho fatto il prodotto scalare:
detto $v=([x],[y],[z])$ il generico vettore di $V^3$, e $w=([3],[-1],[1])$,
$ v cdot w=2 $
$3x-y+z=2$, visto che il prodotto scalare è uguale alla somma dei prodotti dei componenti corrispondenti dei due vettori.
Dall'eq cartesiana mi trovo quelle parametriche ponendo y=t, z=t':
${[x=1/3(2+t-t')],[y=t],[z=t']:}$
da cui si ricava che il generico vettore $vec{p} in S_1$ ha componenti $vec{p}=([1/3(2+t-t')],[t],[t'])_{t,t' in RR}$.
Basta questo per definire $S_1$ ?
Se SI, allora vediamo se è un sottospazio.
Per essere un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma di vettori e prodotto per uno scalare.
Prendiamo due generici vettori di $S_1$, p e q:
$p+q=([1/3(2+a-b)],[a],)+([1/3(2+c-d)],[c],[d])= ([1/3(4+(a+c)-(b+d))],[(a+c)],[(b+d)])$
Andrebbe tutto bene se non fosse per quel "4" lì nel primo componente, quindi non essendo chiuso rispetto alla somma di vettori, questo non è uno spazio vettoriale.
Ma bisogna cmq dimostrare che non è neppure chiuso rispetto al prodotto di vettori? O si può tralasciare?
detto $v=([x],[y],[z])$ il generico vettore di $V^3$, e $w=([3],[-1],[1])$,
$ v cdot w=2 $
$3x-y+z=2$, visto che il prodotto scalare è uguale alla somma dei prodotti dei componenti corrispondenti dei due vettori.
Dall'eq cartesiana mi trovo quelle parametriche ponendo y=t, z=t':
${[x=1/3(2+t-t')],[y=t],[z=t']:}$
da cui si ricava che il generico vettore $vec{p} in S_1$ ha componenti $vec{p}=([1/3(2+t-t')],[t],[t'])_{t,t' in RR}$.
Basta questo per definire $S_1$ ?
Se SI, allora vediamo se è un sottospazio.
Per essere un sottospazio deve essere chiuso rispetto alla somma di vettori e prodotto per uno scalare.
Prendiamo due generici vettori di $S_1$, p e q:
$p+q=([1/3(2+a-b)],[a],)+([1/3(2+c-d)],[c],[d])= ([1/3(4+(a+c)-(b+d))],[(a+c)],[(b+d)])$
Andrebbe tutto bene se non fosse per quel "4" lì nel primo componente, quindi non essendo chiuso rispetto alla somma di vettori, questo non è uno spazio vettoriale.
Ma bisogna cmq dimostrare che non è neppure chiuso rispetto al prodotto di vettori? O si può tralasciare?
"amel":
Nessuno dei due direi...
Purtroppo (o per fortuna) è un esercizio da esame e devo svolgerlo per poter dire una cosa simile...
anche se hai ragione
Io direi semplicemente che non contengono lo 0... 
Ma lo svolgimento che ho fatto io, a prescindere dal vettore nullo, è giusto o sbagliato?
Ma i sottospazi vettoriali, devono per forza di cose, contenere il benedetto vettore nullo?
Ma i sottospazi vettoriali, devono per forza di cose, contenere il benedetto vettore nullo?
http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?p=162414#162414
dopo le cose contingenti faccio una parentesina sulla definizione di sottospazio vettoriale.. se non capisci qualcosa fatti vivo.
Scusami, ma a quest'ora non mi va di riscriverlo tutto..
dopo le cose contingenti faccio una parentesina sulla definizione di sottospazio vettoriale.. se non capisci qualcosa fatti vivo.
Scusami, ma a quest'ora non mi va di riscriverlo tutto..
ok, mi serviva proprio una definizione di sottospazio.
Però io ho dato due valori arbitrari a t e t' così da trovare almeno un vettore che appartenga a $S_1$. Non è proprio come provare che il vettore nullo appartiene al sottospazio...
Dici che è inutile tutto ciò che ho scritto? Un sacco di BLA, BLA, BLA che non serviva visto che non è mai $ \ \vec{0} cdot vec{w}=2$?
Ma allora quando l'esercizio richiede...
"Determinare i seguenti sottoinsiemi di V^3 etc.." cosa intende con Determinare? Una scrittura di questo tipo?
$S_1={(x,y,z) // 3x-y+z=2}$
Però io ho dato due valori arbitrari a t e t' così da trovare almeno un vettore che appartenga a $S_1$. Non è proprio come provare che il vettore nullo appartiene al sottospazio...
Dici che è inutile tutto ciò che ho scritto? Un sacco di BLA, BLA, BLA che non serviva visto che non è mai $ \ \vec{0} cdot vec{w}=2$?
Ma allora quando l'esercizio richiede...
"Determinare i seguenti sottoinsiemi di V^3 etc.." cosa intende con Determinare? Una scrittura di questo tipo?
$S_1={(x,y,z) // 3x-y+z=2}$
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