Spazi e sottospazi (ancora una, perdonatemi)
Esiste una proposizione che si enuncia così:
"Se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generabile e $H$ è un suo sottoinsieme proprio e non vuoto, tale da essere sottospazio di $V$, allora anche $H$ è uno spazio vettoriale finitamente generabile"?
E' questa una proprietà che vale per qualunque sottospazio di uno spazio finitamente generabile? Quella di diventare "automaticamente" spazio vettoriale?
Quindi basta per concludere che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale sia uno spazio vettoriale, dimostrare che esso sia un sottospazio?
Se esiste, come la dimostrereste voi?
"Se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generabile e $H$ è un suo sottoinsieme proprio e non vuoto, tale da essere sottospazio di $V$, allora anche $H$ è uno spazio vettoriale finitamente generabile"?
E' questa una proprietà che vale per qualunque sottospazio di uno spazio finitamente generabile? Quella di diventare "automaticamente" spazio vettoriale?
Quindi basta per concludere che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale sia uno spazio vettoriale, dimostrare che esso sia un sottospazio?
Se esiste, come la dimostrereste voi?
Risposte
"turtle87":
Esiste una proposizione che si enuncia così:
"Se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generabile e $H$ è un suo sottoinsieme proprio e non vuoto, tale da essere sottospazio di $V$, allora anche $H$ è uno spazio vettoriale finitamente generabile"?
E' questa una proprietà che vale per qualunque sottospazio di uno spazio finitamente generabile? Quella di diventare "automaticamente" spazio vettoriale?
Quindi basta per concludere che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale sia uno spazio vettoriale, dimostrare che esso sia un sottospazio?
Se esiste, come la dimostrereste voi?
Scusa entro nel discorso anche se non mi ricordo esattamente il significato di finitamente generabile. Pero' c'e' una cosa che non capisco bene nella tua domanda e cioe' se quello che chiedi
e' se $H$ sia finitamente generabile oppure se sia uno spazio vettoriale (il dubbio mi viene leggendo la penultima riga). A me pare ovvio che un sottospazio sia uno spazio vettoriale
(altrimenti che definizione di sottospazio hai?). A meno ci abbagli da parte mia.
Sì, infatti, quando ho scritto davo per scontato che il significato di sottospazio della penultima riga fosse quello di "sottospazio finitamente generabile".
Io ho molta difficoltà a distinguere bene i sottospazi e gli spazi in generale da quelli "finitamente generabili": questo perchè mi trovo a trattare solo spazi e sottospazi finitamente generabili.
Io ho molta difficoltà a distinguere bene i sottospazi e gli spazi in generale da quelli "finitamente generabili": questo perchè mi trovo a trattare solo spazi e sottospazi finitamente generabili.
Sì, turtle, ogni sottospazio $H$ di uno spazio vettoriale finitamente generabile $V$ è a sua volta finitamente generabile.
Infatti ogni base $B_H$ di $H$ può essere immersa in una base $B$ di $V$: conseguentemente $"card"(B_H)<="card"(B)$ e, visto che $B$ ha un numero finito di elementi (poiché $V$ è finitamente generabile), anche $B_H$ è finita. Dato che $B_H$ genera $H$, $H$ è finitamente generabile.
Infatti ogni base $B_H$ di $H$ può essere immersa in una base $B$ di $V$: conseguentemente $"card"(B_H)<="card"(B)$ e, visto che $B$ ha un numero finito di elementi (poiché $V$ è finitamente generabile), anche $B_H$ è finita. Dato che $B_H$ genera $H$, $H$ è finitamente generabile.
Scusa Gugo82, ma non ho capito bene il tuo ragionamento. Mi pare di aver capito che finitamente generabile vuol dire che esiste un insieme finito di generatori
( da cui si dimostra che esiste una base formata da un numero finito di elementi).
Ora se $H$ e' un sottospazio di $V$, per dimostrare che $H$ e' finitamente generabile devi trovare una base finita per $H$ e non lo puoi fare andando a pescare nella
base di $V$, visto che non e' detto che i suoi elementi siano in $H$.
Se dovessi farlo io direi che in $H$ non ci possono essere piu' di $n$ vettori linearmente indipendenti, $n$ essendo il numero dei generatori di $V$ - questo perche'
in caso contrario troverei piu' di $n$ vettori linearmente indipendenti in $V$, il che e' assurdo. Allora posso prendere $m\leq n$ vettori linearmente indipendenti in modo che
$m$ sia massimale con questa proprieta' (in $H$ non ne trovo $m+1$) e posso poi dimostrare, con qualche calcolo, che tali vettori generano $V$.
Mi pare
EDIT Credo di avere capito il discorso di gugo82, che e' lo stesso che ho fatto io, solo che lui presuppone gia' la nozione (e l'esistenza) di una base.
I apologize
( da cui si dimostra che esiste una base formata da un numero finito di elementi).
Ora se $H$ e' un sottospazio di $V$, per dimostrare che $H$ e' finitamente generabile devi trovare una base finita per $H$ e non lo puoi fare andando a pescare nella
base di $V$, visto che non e' detto che i suoi elementi siano in $H$.
Se dovessi farlo io direi che in $H$ non ci possono essere piu' di $n$ vettori linearmente indipendenti, $n$ essendo il numero dei generatori di $V$ - questo perche'
in caso contrario troverei piu' di $n$ vettori linearmente indipendenti in $V$, il che e' assurdo. Allora posso prendere $m\leq n$ vettori linearmente indipendenti in modo che
$m$ sia massimale con questa proprieta' (in $H$ non ne trovo $m+1$) e posso poi dimostrare, con qualche calcolo, che tali vettori generano $V$.
Mi pare
EDIT Credo di avere capito il discorso di gugo82, che e' lo stesso che ho fatto io, solo che lui presuppone gia' la nozione (e l'esistenza) di una base.
I apologize
"ViciousGoblinEnters":
[...] se $H$ e' un sottospazio di $V$, per dimostrare che $H$ e' finitamente generabile devi trovare una base finita per $H$ e non lo puoi fare andando a pescare nella base di $V$, visto che non e' detto che i suoi elementi siano in $H$. [...]
EDIT Credo di avere capito il discorso di gugo82, che e' lo stesso che ho fatto io, solo che lui presuppone gia' la nozione (e l'esistenza) di una base.
I apologize
L'esistenza di una base di $H$ e di $V$ è certa (perchè ogni spazio vettoriale ha una base nel senso dell'Algebra Lineare); d'altra parte ogni base di $H$ è una parte indipendente di $V$ e perciò essa può essere immersa in una base di $V$ (nel senso che per ogni $B_H$ base di $H$ esiste almeno una $B$ base di $V$ tale che $B_H\subseteq B$; questo fatto si prova col lemma di Zorn e vale in ogni spazio vettoriale).
Quindi non è che fisso a caso una base di $V$ e poi mi "stringo" su $H$, ma faccio esattamente il contrario: parto da $H$ e mi "allargo" su $V$.
Ad ogni modo la tua dimostrazione è migliore, in quanto non presuppone conoscenze algebriche troppo generali e può essere più utile per turtle (il quale credo che stia lavorando solo su spazi a dimensione finita).
Mi permetto di sistemare una cosa: se $n="dim"V$ allora in $V$ ogni sistema $S$ contenente $m>n$ vettori è linearmente dipendente (questo si prova per assurdo, ad esempio, e vale anche per $m=oo$); ne viene che ogni base $B_H$ di $H$, la quale è un sistema di vettori indipendente anche di $V$, non può contenere più di $n$ vettori, ossia $"dim"H="card"(B_H)<=n$. Quindi $H$ è generato da $B_H$ che è finito, ossia $H$ è finitamente generabile.
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