Spazi e sottospazi
Devo dimostrare questa implicazione:
"Se V è finitamente generabile e $H sub V$ è sottospazio di V, allora $H$ è a sua volta spazio vettoriale, ed è finitamente generabile".
Sembrerà banale, ma ho provato a dimostrarlo, e non ci sono riuscito. Continuerò a provarci, ma comunque provo a chiedere aiuto, per evitare di mordermi la coda all'infinito. Non so se devo applicare la definizione di spazio vettoriale, e quindi provare tutte le proprietà per gli elementi del sottospazio. In sostanza farò così, ma chiedo il vostro aiuto per vedere se c'è un metodo più "agile" per pervenire alla mia conclusione.
Posterò i tentativi compiuti sinora.
Dato uno spazio V finitamente generabile, i suoi vettori $v_1, v_2, ..., v_n$, oltre a soddisfare le proprietà classiche che rendono un insieme di vettori uno spazio vettoriale, hanno anche come proprietà quella di essere combinazione lineare dei vettori $e_1, e_2, ..., e_n$ della base canonica di V. Considerando un sottoinsieme H di V, prendo i generici elementi di H, non vuoto, $(v_i)_1, (v_i)_2,..., (v_i)_n$ e penso di dover dimostrare che tutti i vettori di questo sottospazio soddisfino le proprietà dello spazio vettoriale. Che sarà finitamente generabile, in quanti i vettori di H, appartenendo anche a V, saranno anch' essi combinazione lineare dei vettori della base canonica di V. Dove sbaglio?
"Se V è finitamente generabile e $H sub V$ è sottospazio di V, allora $H$ è a sua volta spazio vettoriale, ed è finitamente generabile".
Sembrerà banale, ma ho provato a dimostrarlo, e non ci sono riuscito. Continuerò a provarci, ma comunque provo a chiedere aiuto, per evitare di mordermi la coda all'infinito. Non so se devo applicare la definizione di spazio vettoriale, e quindi provare tutte le proprietà per gli elementi del sottospazio. In sostanza farò così, ma chiedo il vostro aiuto per vedere se c'è un metodo più "agile" per pervenire alla mia conclusione.
Posterò i tentativi compiuti sinora.
Dato uno spazio V finitamente generabile, i suoi vettori $v_1, v_2, ..., v_n$, oltre a soddisfare le proprietà classiche che rendono un insieme di vettori uno spazio vettoriale, hanno anche come proprietà quella di essere combinazione lineare dei vettori $e_1, e_2, ..., e_n$ della base canonica di V. Considerando un sottoinsieme H di V, prendo i generici elementi di H, non vuoto, $(v_i)_1, (v_i)_2,..., (v_i)_n$ e penso di dover dimostrare che tutti i vettori di questo sottospazio soddisfino le proprietà dello spazio vettoriale. Che sarà finitamente generabile, in quanti i vettori di H, appartenendo anche a V, saranno anch' essi combinazione lineare dei vettori della base canonica di V. Dove sbaglio?
Risposte
$H$ è spazio vettoriale per definizione di sottospazio...
Poichè $H$ è spazio vettoriale, possiamo prenderne una base $cc(H)$. Tale base può essere "completata" a base dello spazio $V$ (cioè integrando $cc(H)$ con opportuni vettori, s'ottiene una base di $V$, chiamiamola $ccV$) in virtù del lemma di completamento (dubito che questo nome sia riconosciuto universalmente...). Sto dicendo che:
$cardcc(H)
(la prima disuguaglianza è stretta perchè si presume che tale sia la relazione d'inclusione tra $H$ e $V$).
Poichè $H$ è spazio vettoriale, possiamo prenderne una base $cc(H)$. Tale base può essere "completata" a base dello spazio $V$ (cioè integrando $cc(H)$ con opportuni vettori, s'ottiene una base di $V$, chiamiamola $ccV$) in virtù del lemma di completamento (dubito che questo nome sia riconosciuto universalmente...). Sto dicendo che:
$cardcc(H)
(la prima disuguaglianza è stretta perchè si presume che tale sia la relazione d'inclusione tra $H$ e $V$).
In prima lettura, non ho prestato attenzione al tuo tentativo di risoluzione, tant'era la foga nel rispondere...
Uno spazio finitamente generato non ha necessariamente finiti elementi (tu hai detto che ne ha $n$...). Si parla di finitezza riferendosi alla cardinalità delle basi...
Qual'è la base canonica, scusa???
E questi signori chi sono? Tutti i vettori di $H$?
"turtle87":
Dato uno spazio V finitamente generabile, i suoi vettori $v_1, v_2, ..., v_n$?
Uno spazio finitamente generato non ha necessariamente finiti elementi (tu hai detto che ne ha $n$...). Si parla di finitezza riferendosi alla cardinalità delle basi...
"turtle87":
...vettori $e_1, e_2, ..., e_n$ della base canonica di V.
Qual'è la base canonica, scusa???
"turtle87":
...$(v_i)_1, (v_i)_2,..., (v_i)_n$...
E questi signori chi sono? Tutti i vettori di $H$?
In prima lettura, non ho prestato attenzione al tuo tentativo di risoluzione, tant'era la foga nel rispondere...
Figurati, la colpa è mia, ho modificato il messaggio mettendoci pure il mio tentativo.
Uno spazio finitamente generato non ha necessariamente finiti elementi (tu hai detto che ne ha n...). Si parla di finitezza riferendosi alla cardinalità delle basi...[/quote]
Diciamo che n può anche essere infinito, anche se la notazione è scorretta. Sì, indicavo gli elementi di V, finiti o infiniti che fossero.
Qual'è la base canonica, scusa???
Base canonica è quella che utilizza solo 0 e 1. Non è una definizione molto rigorosa la mia, senonchè esistono basi canoniche sia per gli spazi $RR^n$, sia per quelli $RR^(m, n)$, sia per altri spazi (per lo spazio dei vettori applicati in un punto esso è l'insieme dei versori lungo gli assi dello spazio cartesiano ).
Siccome non ho capito se non hai capito quello che ho detto o se non sai cosa sia una base canonica, mi permetto di definirla a modo mio per sicurezza. Ad ogni modo, salta il mio obbrobrio stilistico.
In sostanza, chiamo $e_i$, per spazi del tipo $RR^n$, un vettore avente 1 al posto $i$ (per $i=1,..., n$) e 0 in tutte le altre posizioni. Chiamo $e_(ij)$ per spazi $RR^(m, n)$ una matrice avente 1 al posto $i, j$ e 0 in tutte le altre posizioni. Una base canonica di uno spazio di dimensione n è un insieme di n vettori di quel tipo.
E questi signori chi sono? Tutti i vettori di H?
Sì, intendo i vettori di H.
So cos'è la base canonica e so che il parlare di essa implica che si stia lavorando in presenza di coordinate, cioè in uno spazio del tipo $K^n$. Tu invece parlavi di uno spazio vettoriale qualsiasi (ove non ci sono basi canoniche...).
Il ragionamento che ho postato chiarisce i tuoi dubbi?
Il ragionamento che ho postato chiarisce i tuoi dubbi?
Se V è finitamente generabile e H⊂V è sottospazio di V, allora H è a sua volta spazio vettoriale, ed è finitamente generabile".
Beh, io parlavo di uno spazio vettoriale finitamente generabile, non di uno spazio qualsiasi. Quindi penso che sia lecito dire che ogni spazio vettoriale finitamente generabile abbia una base canonica. Più tardi (mi chiamano per pranzare
) cercherò di rileggere il tuo ragionamento, e vedere se riesco a capirlo. Comunque, grazie 
"Dorian":
uno spazio vettoriale qualsiasi (ove non ci sono basi canoniche...).
Dici? Secondo me dato lo spazio $k^{(X)}$ dove $X$ e' un insieme, esiste una base privilegiata che e' quella formata dalle funzioni $X to k$ che valgono $1$ in un fissato $x in X$ e $0$ altrove. Io la chiamerei base canonica.
"Martino":
[quote="Dorian"]uno spazio vettoriale qualsiasi (ove non ci sono basi canoniche...).
Dici? Secondo me dato lo spazio $k^{(X)}$ dove $X$ e' un insieme, esiste una base privilegiata che e' quella formata dalle funzioni $X to k$ che valgono $1$ in un fissato $x in X$ e $0$ altrove. Io la chiamerei base canonica.[/quote]
Io riporto fedelmente ciò che mi è stato detto, mesi or sono, in un corso di algebra lineare...
Comunque $k^X$ non è uno spazio vettoriale qualsiasi!
"Dorian":
$k^X$ non è uno spazio vettoriale qualsiasi!
Io non ho parlato di $k^X$ ma di $k^{(X)}$ (= le combinazioni lineari finite di elementi di $X$) (in questo modo $dim_k(k^{(X)})=card(X)$, mentre in generale $dim_k(k^X) ne card(X)$). Naturalmente uno spazio vettoriale non si presenta nella forma $k^{(X)}$ ma puoi portarcelo, proprio come porti uno spazio vettoriale di dimensione finita nella forma $k^n$ dove $n$ e' la dimensione.
Non ogni spazio vettoriale e' nella forma $k^X$ ma sicuramente ogni spazio vettoriale e' nella forma $k^{(X)}$.
Forse non capisco ciò che vuoi dire, comunque mi sembra d'aver inteso che la base che tu dici essere "canonica" è base dello spazio {funzioni (lineari?) di $X$ in $k$} e non base dello spazio $k^{(X)}$... O forse hai sottointeso un'identificazione tra lo spazio ed il suo duale?
"Dorian":
Forse non capisco ciò che vuoi dire, comunque mi sembra d'aver inteso che la base che tu dici essere "canonica" è base dello spazio {funzioni (lineari?) di $X$ in $k$} e non base dello spazio $k^{(X)}$... O forse hai sottointeso un'identificazione tra lo spazio ed il suo duale?
No, ho solo identificato $k^{(X)}$ con l'insieme delle funzioni $X to k$ quasi ovunque nulle.
Insomma quello che sto dicendo e' che se ho uno spazio di dimensione infinita la base ${(1,0,0,0,...),(0,1,0,0,...),(0,0,1,0,...),...}$ la chiamerei canonica.
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