Spazi e dimensioni
qualcuno mi potrebbe aiutare?
sia S un sottospazio di R^6 con dimensione dim S=5 , è vero che se B è una base di R^6 allora rimuovendo un qualunque vettore diB si ottiene una base di S ??
io ho pensato al teorema inverso del completamento della base, ma non ne sono sicuro!!
sia S un sottospazio di R^6 con dimensione dim S=5 , è vero che se B è una base di R^6 allora rimuovendo un qualunque vettore diB si ottiene una base di S ??
io ho pensato al teorema inverso del completamento della base, ma non ne sono sicuro!!
Risposte
Quando dici "Teorema inverso della base" intendi il risultato che dice che da un qualunque sistema di generatori puoi estrarre una base??? Questo risultato in questa situazione non può essere applicato perché non hai un sistema di generatori del tuo sottospazio $S$.
Comunque quello che cerchi di dimostrare non è vero. Prova a pensare cosa succede se $\mathcal{B}$ è la base canonica e $S$ non è ortogonale a nessuno dei vettori della base canonica. Magari prima prova a farti un po' di esempi in dimensione bassa, in cui puoi aiutarti con qualche disegno.
Dopo che hai capito come funzionano le cose prova a dimostrare questo:
Sia $\mathcal{B}= \{ v_1 . . . v_k \}$ una base di uno spazio vettoriale $V$. Allora eliminando uno dei vettori di $\mathcal{B}$ si ottiene un sottospazio di dimensione $n-1$. Dimostrare gli spazi che si ottengono sono sempre diversi a seconda di quale vettore si elimina. Detto meglio:
Posto $V_i$ ($i=1 . . . k$) lo spazio generato da $\mathcal{B} \setminus \{ v_i \}$, dimostrare che $V_i = V_j$ se e solo se $i=j$.
Comunque quello che cerchi di dimostrare non è vero. Prova a pensare cosa succede se $\mathcal{B}$ è la base canonica e $S$ non è ortogonale a nessuno dei vettori della base canonica. Magari prima prova a farti un po' di esempi in dimensione bassa, in cui puoi aiutarti con qualche disegno.
Dopo che hai capito come funzionano le cose prova a dimostrare questo:
Sia $\mathcal{B}= \{ v_1 . . . v_k \}$ una base di uno spazio vettoriale $V$. Allora eliminando uno dei vettori di $\mathcal{B}$ si ottiene un sottospazio di dimensione $n-1$. Dimostrare gli spazi che si ottengono sono sempre diversi a seconda di quale vettore si elimina. Detto meglio:
Posto $V_i$ ($i=1 . . . k$) lo spazio generato da $\mathcal{B} \setminus \{ v_i \}$, dimostrare che $V_i = V_j$ se e solo se $i=j$.
"Pappappero":
Quando dici "Teorema inverso della base" intendi il risultato che dice che da un qualunque sistema di generatori puoi estrarre una base??? Questo risultato in questa situazione non può essere applicato perché non hai un sistema di generatori del tuo sottospazio $S$.
Comunque quello che cerchi di dimostrare non è vero. Prova a pensare cosa succede se $\mathcal{B}$ è la base canonica e $S$ non è ortogonale a nessuno dei vettori della base canonica. Magari prima prova a farti un po' di esempi in dimensione bassa, in cui puoi aiutarti con qualche disegno.
Dopo che hai capito come funzionano le cose prova a dimostrare questo:
Sia $\mathcal{B}= \{ v_1 . . . v_k \}$ una base di uno spazio vettoriale $V$. Allora eliminando uno dei vettori di $\mathcal{B}$ si ottiene un sottospazio di dimensione $n-1$. Dimostrare gli spazi che si ottengono sono sempre diversi a seconda di quale vettore si elimina. Detto meglio:
Posto $V_i$ ($i=1 . . . k$) lo spazio generato da $\mathcal{B} \setminus \{ v_i \}$, dimostrare che $V_i = V_j$ se e solo se $i=j$.
in realtà invece pensavo al fatto che se aggiungo un vettore linearmente indipendente ad una base di R^4 ottengo una base di R^5 allora se ho una base di R^5 se tolgo un vettore ottengo una base di R^4, non importa quale xkè cmq ottengo una base, ecco come ragionavo, se la base di S è la base canonica per completarla a R^5 devo aggiungere un vettore e sicuramente sarà indipendente ai vettori della base di S
Quello che affermi è errato. Infatti anche solo in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) nessun sottoinsieme della base canonica è una base del sottospazio generato da \(\displaystyle \mathbf{i}+\mathbf{j} \).
P.S: ti dispiacerebbe togliere la seconda ‘z’ in spazi nel titolo.
P.S: ti dispiacerebbe togliere la seconda ‘z’ in spazi nel titolo.
"vict85":
Quello che affermi è errato. Infatti anche solo in \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) nessun sottoinsieme della base canonica è una base del sottospazio generato da \(\displaystyle \mathbf{i}+\mathbf{j} \).
P.S: ti dispiacerebbe togliere la seconda ‘z’ in spazi nel titolo.
scusa non ho capito a chi ti riferisci a me??
Devi stare attento al fatto che in certi casi è importante considerare l'ambiente in cui sono immersi gli spazi. Per farti un esempio, un qualunque sottospazio $4$-dimensionale di $\RR ^5$ è indubbiamente una copia di $\RR ^4$, ma non tutti i sottospazi $4$-dimensionali di $\RR^5$ sono uguali.
Come ti ha fatto notare vict85, basta osservare che in $\RR^2$ lo spazio $1$-dimensionale generato da $\mathbf{i} + \mathbf{j}$ non è generato da nessuno dei vettori della base canonica ($\{ \mathbf{i} , \mathbf{j} \}$ appunto).
Insomma, quello che dovresti avere chiaro è che, se hai uno spazio $S$ di dimensione $k$ da generare, non basta che dei vettori generino uno spazio di dimensione $k$ per dire che generano proprio $S$.
Come ti ha fatto notare vict85, basta osservare che in $\RR^2$ lo spazio $1$-dimensionale generato da $\mathbf{i} + \mathbf{j}$ non è generato da nessuno dei vettori della base canonica ($\{ \mathbf{i} , \mathbf{j} \}$ appunto).
Insomma, quello che dovresti avere chiaro è che, se hai uno spazio $S$ di dimensione $k$ da generare, non basta che dei vettori generino uno spazio di dimensione $k$ per dire che generano proprio $S$.
"Pappappero":
Devi stare attento al fatto che in certi casi è importante considerare l'ambiente in cui sono immersi gli spazi. Per farti un esempio, un qualunque sottospazio $4$-dimensionale di $\RR ^5$ è indubbiamente una copia di $\RR ^4$, ma non tutti i sottospazi $4$-dimensionali di $\RR^5$ sono uguali.
Come ti ha fatto notare vict85, basta osservare che in $\RR^2$ lo spazio $1$-dimensionale generato da $\mathbf{i} + \mathbf{j}$ non è generato da nessuno dei vettori della base canonica ($\{ \mathbf{i} , \mathbf{j} \}$ appunto).
Insomma, quello che dovresti avere chiaro è che, se hai uno spazio $S$ di dimensione $k$ da generare, non basta che dei vettori generino uno spazio di dimensione $k$ per dire che generano proprio $S$.
ragazzi ma qui stiamo parlando di basi non di generatori, è un concetto più forte xkè include l'indipendenza lineare, ora se io ad una base aggiungo un vettore linearmente indipendente, per esempio base di $\RR^3$ aggiungo un vettore v l.i. ottengo una base di $\RR^4$ bene se a qst base tolgo il vettore aggiunto, riottengo la base di $\RR^3$ di partenza, ed inoltre $\RR^3$ è un sottospazio di $\RR^4$, questo è il mio ragionamento, xkè mettete in mezzo la base canonica, che complica la situazione?? non riesco a capirvi, sono amareggiato scusatemi
Appunto è importante capire bene che conta anche l'ambiente in cui sei. Se tu consideri $\RR^3$, nudo e crudo, questo è fatto di terne. Se prendi una base di $\RR ^3$ non potrai mai trovare un vettore indipendente con i $3$ vettori della base per fargli generare $\RR^4$.
Se invece sei in $\RR ^4$, allora ogni sottospazio $3$-dimensionale può essere identificato con $\RR ^3$, ma questo non significa che hai un solo spazio $3$-dimensionale (in questo caso si dice che i sottospazi sono isomorfi, concetto decisamente diverso dall'essere uguali).
Indubbiamente se prendi un sottospazio $3$-dimensionale di $\RR^4$, aggiungi un vettore indipendente a una sua base e poi lo ritogli ottieni lo spazio di partenza. Ma questo è molto diverso dal dire che presa una qualsiasi base di $\RR^4$ e togliendo un vettore si ottiene una base di uno sottospazio $S$ già assegnato. I discorsi sulla base canonica erano per farti degli esempi che puoi disegnare per capire come funzionano le cose.
Se invece sei in $\RR ^4$, allora ogni sottospazio $3$-dimensionale può essere identificato con $\RR ^3$, ma questo non significa che hai un solo spazio $3$-dimensionale (in questo caso si dice che i sottospazi sono isomorfi, concetto decisamente diverso dall'essere uguali).
Indubbiamente se prendi un sottospazio $3$-dimensionale di $\RR^4$, aggiungi un vettore indipendente a una sua base e poi lo ritogli ottieni lo spazio di partenza. Ma questo è molto diverso dal dire che presa una qualsiasi base di $\RR^4$ e togliendo un vettore si ottiene una base di uno sottospazio $S$ già assegnato. I discorsi sulla base canonica erano per farti degli esempi che puoi disegnare per capire come funzionano le cose.
"Pappappero":
Appunto è importante capire bene che conta anche l'ambiente in cui sei. Se tu consideri $\RR^3$, nudo e crudo, questo è fatto di terne. Se prendi una base di $\RR ^3$ non potrai mai trovare un vettore indipendente con i $3$ vettori della base per fargli generare $\RR^4$.
Se invece sei in $\RR ^4$, allora ogni sottospazio $3$-dimensionale può essere identificato con $\RR ^3$, ma questo non significa che hai un solo spazio $3$-dimensionale (in questo caso si dice che i sottospazi sono isomorfi, concetto decisamente diverso dall'essere uguali).
Indubbiamente se prendi un sottospazio $3$-dimensionale di $\RR^4$, aggiungi un vettore indipendente a una sua base e poi lo ritogli ottieni lo spazio di partenza. Ma questo è molto diverso dal dire che presa una qualsiasi base di $\RR^4$ e togliendo un vettore si ottiene una base di uno sottospazio $S$ già assegnato. I discorsi sulla base canonica erano per farti degli esempi che puoi disegnare per capire come funzionano le cose.
quindi di conseguenza non posso togliere un qualsiasi vettore dalla base di $ RR^4 $ per ottenere una base di S...ma come posso discutere l'esercizio in maniera completa??
Se l'esercizio è quello che hai postato nel primo messaggio, e cioè ti chiede se "è vero...", la risposta è semplicemente no, e basta esibire un controesempio per dimostrarlo.
In realtà il risultato che ti ho proposto di dimostrare nel mio primo post dimostra che non solo esiste un controesempio, ma non esistono esempi in cui può accadere quello che si richiede.
In realtà il risultato che ti ho proposto di dimostrare nel mio primo post dimostra che non solo esiste un controesempio, ma non esistono esempi in cui può accadere quello che si richiede.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo