Spazi di Sobolev
Sto preparando l'esame di equazioni differenziali a derivate parziali, mi sono imbattuta in questo esercizio sugli spazi di Sobolev e non riesco a risolverlo. Il testo dice:
Sia $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ limitato, $f\inW^{1,p}(\Omega)$, con $1<=p<=\infty$. Devo dimostrare che allora
$|f|$, definita come $|f|(x):=|f(x)|$ è in $W^{1,p}$ e che $D|f|=Df$ quasi ovunque su $\{f>0\}$, $D|f|=-Df$ quasi ovunque su $\{f<0\}$ e $D|f|=0$ quasi ovunque su $\{f=0\}$.
Il suggerimento che mi dà il testo dell'esercizio è di considerare la funzione $G_{\epsilon}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definita da $G_{\epsilon}(z):=\sqrt{z^2+\epsilon^2}-\epsilon$, con $\epsilon>0$.
Quello che mi era venuto in mente è di considerare il fatto che potrei scrivere $|f|=lim_{\epsilon\rightarrow0}G_{\epsilon}(f)$, però non so come utilizzarlo.
La prima domanda che mi viene è: $|f|$ appartiene a $L^p(\Omega)$? per dimostrarlo, dovrei dimostrare che la norma in $L^p$ di essa è finita, e questo mi sembra ovvio, in quanto $f\inL^p$ giusto?
Bene, a questo punto, se dimostro che la derivata è davvero uguale a quella che mi da il testo dell'esercizio automaticamente dimostro anche che $|f|\inW^{1,p}$, però non riesco a capire come dimostrarlo! Suggerimenti?
Grazie
Sia $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ limitato, $f\inW^{1,p}(\Omega)$, con $1<=p<=\infty$. Devo dimostrare che allora
$|f|$, definita come $|f|(x):=|f(x)|$ è in $W^{1,p}$ e che $D|f|=Df$ quasi ovunque su $\{f>0\}$, $D|f|=-Df$ quasi ovunque su $\{f<0\}$ e $D|f|=0$ quasi ovunque su $\{f=0\}$.
Il suggerimento che mi dà il testo dell'esercizio è di considerare la funzione $G_{\epsilon}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definita da $G_{\epsilon}(z):=\sqrt{z^2+\epsilon^2}-\epsilon$, con $\epsilon>0$.
Quello che mi era venuto in mente è di considerare il fatto che potrei scrivere $|f|=lim_{\epsilon\rightarrow0}G_{\epsilon}(f)$, però non so come utilizzarlo.
La prima domanda che mi viene è: $|f|$ appartiene a $L^p(\Omega)$? per dimostrarlo, dovrei dimostrare che la norma in $L^p$ di essa è finita, e questo mi sembra ovvio, in quanto $f\inL^p$ giusto?
Bene, a questo punto, se dimostro che la derivata è davvero uguale a quella che mi da il testo dell'esercizio automaticamente dimostro anche che $|f|\inW^{1,p}$, però non riesco a capire come dimostrarlo! Suggerimenti?
Grazie
Risposte
Sia $G(cdot)=|cdot|$. Allora $G in C^1(Omega)$, $G(0)=0$. Ciò basta per dire che se $f in W^(1,p)(Omega)$ allora $G @ f=|f|in W^(1,p)(Omega)$: c'è un teorema che te l'assicura. Lo stesso teorema asserisce che $(G @ f)'=(G'@u)*u'$, ovvero ciò che devi dimostrare.
Non conosco questo teorema, dove posso leggere la dimostrazione?
H. Brezis, Analisi Funzionale, Teorema (in realtà è un corollario) VIII.10
In quel teorema ci si trova in $\mathbb{R}$, non in $\mathbb{R}^n$!!! Come faccio a dimostrare la stessa cosa per il caso mio?
Mea culpa (sono stato tratto in inganno da $Df$, l'ho interpretato come $f'$): leggi l'analogo di quel teorema in dimensione $N$: è la proposizione IX.5, a pagina 246.
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