Spazi di Hausdorff
Salve vorrei capire se il ragionamento rispeto ad alcune affermazioni è giusto:
1) Ogni spazio con topologia discreta è di Hausdorff
Allora se prendo un qualsiasi insieme non vuoto X, e definisco su X la topologia discreta, cioè quella che ha come aperti l'insieme delle parti di X allora è lecito parlare di spazio topologico $(X, P(X))$.
Se prendo due qualsiasi punti dentro X, ad esempio i punti $a$ e $b$ allora esistono dentro $P(X)$ due aperti non vuoti $A_a$ e $A_b$ tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto, cioè in matematichese $A_a \cap A_b= \emptyset$. Tali aperti concretamente esistono se esistono i punti a e b, infatti sono proprio gli elementi ${a}$ e ${b}$ di $P(X)$ formati dai singoli elementi $a$ e $b$ in $X$.
2) Ogni spazio con topologia banale con almeno due punti non è un Hausdorff.
In questo caso ho preso un insieme con due punti e ho definito la topologia banale $B(X)$ definendo la topologia banale di $X$ posso parlare di spazio topologico banale $(X, B(X))$. Ora faccio vedere che effettivamente la proprietà di Hausdorff non è soddisfatta, cioè non esistono mai aperti dei due punti $a$ e $b$ la cui intersezione sia il $\emptyset$. Allora siano $a$ e $b$ gli unici punti dentro $X$, gli unici aperti dentro $P(X)={\emptyset, X}$, l'unico aperto che posso considerare è $X$ sia nel caso $A_a=A_b=X$.
Quindi $A_a \cap A_b =X \cup X= X!=\emptyset $ la proprietà di hausdorff non è verificata.
3)Ogni insieme infinito con topologia cofinita non è un Haudorff.
La topologia cofinita e la topologia che ha come aperti, il vuoto, e gli insiemi i cui complementari sono insiemi finiti.
Quindi se $X$ è non vuoto, allora possiamo definire sempre la topologia cofinita $K(X)$, e quindi lo spazio topologico (X, K(X)).
Nel nostro caso $(X, K(X))$ è uno spazio topologico formato a partire da un insieme che aveva infiniti punti.
Segue che la topologia cofinita concide in questo caso con la topologia banale. Segue per il caso precedente, l'asserto è verificato.
Che dite???
1) Ogni spazio con topologia discreta è di Hausdorff
Allora se prendo un qualsiasi insieme non vuoto X, e definisco su X la topologia discreta, cioè quella che ha come aperti l'insieme delle parti di X allora è lecito parlare di spazio topologico $(X, P(X))$.
Se prendo due qualsiasi punti dentro X, ad esempio i punti $a$ e $b$ allora esistono dentro $P(X)$ due aperti non vuoti $A_a$ e $A_b$ tali che la loro intersezione sia l'insieme vuoto, cioè in matematichese $A_a \cap A_b= \emptyset$. Tali aperti concretamente esistono se esistono i punti a e b, infatti sono proprio gli elementi ${a}$ e ${b}$ di $P(X)$ formati dai singoli elementi $a$ e $b$ in $X$.
2) Ogni spazio con topologia banale con almeno due punti non è un Hausdorff.
In questo caso ho preso un insieme con due punti e ho definito la topologia banale $B(X)$ definendo la topologia banale di $X$ posso parlare di spazio topologico banale $(X, B(X))$. Ora faccio vedere che effettivamente la proprietà di Hausdorff non è soddisfatta, cioè non esistono mai aperti dei due punti $a$ e $b$ la cui intersezione sia il $\emptyset$. Allora siano $a$ e $b$ gli unici punti dentro $X$, gli unici aperti dentro $P(X)={\emptyset, X}$, l'unico aperto che posso considerare è $X$ sia nel caso $A_a=A_b=X$.
Quindi $A_a \cap A_b =X \cup X= X!=\emptyset $ la proprietà di hausdorff non è verificata.
3)Ogni insieme infinito con topologia cofinita non è un Haudorff.
La topologia cofinita e la topologia che ha come aperti, il vuoto, e gli insiemi i cui complementari sono insiemi finiti.
Quindi se $X$ è non vuoto, allora possiamo definire sempre la topologia cofinita $K(X)$, e quindi lo spazio topologico (X, K(X)).
Nel nostro caso $(X, K(X))$ è uno spazio topologico formato a partire da un insieme che aveva infiniti punti.
Segue che la topologia cofinita concide in questo caso con la topologia banale. Segue per il caso precedente, l'asserto è verificato.
Che dite???
Risposte
"squalllionheart":
Segue che la topologia cofinita concide in questo caso con la topologia banale.
Questo non mi convince. Non è che perché $X$ è infinito gli unici aperti sono il vuoto e $X$. Per esempio, per ogni $a \in X$, l'insieme $X \setminus {a}$ è un aperto della topologia cofinita.
Forse ho capito quelllo che mi ha detto.
Infatti è falsa l'affermazione che dice che in questo caso la topologia cofinita coincide con la topologia banale.
Infatti se considero il sottoinsieme di $X$ formato dal solo punto $a$, quindi ${a}$, allora questo è un sottoinsieme finito di $X$, inoltre il suo complementare è $X-{a}$, questo per definizione di topologia cofinita fa parte di $K(X)$, quindi $X-{a}$ è un aperto di $K(X)$.
L'intersezione tra due aperti di questo tipo è sempre non vuota. Quindi l'asserto è dimostrato.
Va bene così?
Infatti è falsa l'affermazione che dice che in questo caso la topologia cofinita coincide con la topologia banale.
Infatti se considero il sottoinsieme di $X$ formato dal solo punto $a$, quindi ${a}$, allora questo è un sottoinsieme finito di $X$, inoltre il suo complementare è $X-{a}$, questo per definizione di topologia cofinita fa parte di $K(X)$, quindi $X-{a}$ è un aperto di $K(X)$.
L'intersezione tra due aperti di questo tipo è sempre non vuota. Quindi l'asserto è dimostrato.
Va bene così?
Manca ancora qualcosa. Gli insiemi di quel tipo sono aperti, ma non sono TUTTI gli aperti.
Un aperto generico è $X \setminus {a_1 , \ldots , a_n}$, e si ottiene per intersezione finita di aperti del tipo $X \setminus {a}$.
Detto ciò, la tua conclusione è ancora vera, perché se fai l'intersezione di due insiemi di questo tipo ottieni comunque un insieme non vuoto: infatti $X \setminus {a_1 ,\ldots\ , a_n} \cap X \setminus {b_1 ,\ldots\ , b_m} = X \setminus {a_1,\ldots\ a_n, b_1,\ldots\ , b_m}$ ha cardinalità infinita.
Un aperto generico è $X \setminus {a_1 , \ldots , a_n}$, e si ottiene per intersezione finita di aperti del tipo $X \setminus {a}$.
Detto ciò, la tua conclusione è ancora vera, perché se fai l'intersezione di due insiemi di questo tipo ottieni comunque un insieme non vuoto: infatti $X \setminus {a_1 ,\ldots\ , a_n} \cap X \setminus {b_1 ,\ldots\ , b_m} = X \setminus {a_1,\ldots\ a_n, b_1,\ldots\ , b_m}$ ha cardinalità infinita.
Grande, carissima 
Un super bacio
Un super bacio
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