Spazi di Hausdorff
Ciao!
Devo dimostrare che
dati $(X,tau_X)$ , $(Y,tau_Y)$ spazi topologici e $f,g:X->Y$ due applicazioni continue:
se $Y$ è di Hausdorff allora $C={x in X | g(x)=f(x)}$ è un insieme chiuso
sul Manetti usa la diagonale dello spazio prodotto e per adesso ho dovuto saltare l'argomento, quindi ho provato a farla così:
dimostrazione
consideriamo $XsetminusC$ e mostriamo che si tratta di un insieme aperto(che è intorno di ogni suo punto)
sia $z in XsetminusC$ allora $f(z)ne g(z)$ da cui poiché $Y$ è di Hausdorff esistono $U in I(f(z))$ e $V in I(g(z))$ tali che $UcapV=emptyset$ siano inoltre $A in tau_X$ e $B in tau_Y$ i due aperti tali che
a questo punto consideriamo l'insieme $f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B)$. Tale insieme è aperto in $X$ poichè essendo $A,B$ aperti e $f,g$ continue si ha una intersezione di controimmagini di aperti e quindi è un aperto.
1. $z$ sta in quella intersezione in quanto $f(z) in A$ e $g(z) in B$
2. $forall t in f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B), f(t)ne g(t)$ in quanto se fosse $f(t)=g(t)$ si avrebbe che $f(t) in AcapB$ e pertanto è contenuto in $XsetminusC$
quindi $XsetminusC$ è intorno di $z$
Devo dimostrare che
dati $(X,tau_X)$ , $(Y,tau_Y)$ spazi topologici e $f,g:X->Y$ due applicazioni continue:
se $Y$ è di Hausdorff allora $C={x in X | g(x)=f(x)}$ è un insieme chiuso
sul Manetti usa la diagonale dello spazio prodotto e per adesso ho dovuto saltare l'argomento, quindi ho provato a farla così:
dimostrazione
consideriamo $XsetminusC$ e mostriamo che si tratta di un insieme aperto(che è intorno di ogni suo punto)
sia $z in XsetminusC$ allora $f(z)ne g(z)$ da cui poiché $Y$ è di Hausdorff esistono $U in I(f(z))$ e $V in I(g(z))$ tali che $UcapV=emptyset$ siano inoltre $A in tau_X$ e $B in tau_Y$ i due aperti tali che
$f(z) in AsubsetU$ e $g(z) in BsubsetV$
a questo punto consideriamo l'insieme $f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B)$. Tale insieme è aperto in $X$ poichè essendo $A,B$ aperti e $f,g$ continue si ha una intersezione di controimmagini di aperti e quindi è un aperto.
1. $z$ sta in quella intersezione in quanto $f(z) in A$ e $g(z) in B$
2. $forall t in f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B), f(t)ne g(t)$ in quanto se fosse $f(t)=g(t)$ si avrebbe che $f(t) in AcapB$ e pertanto è contenuto in $XsetminusC$
quindi $XsetminusC$ è intorno di $z$
Risposte
Mi sembra funzioni! (solo, $A \in \tau_Y$ 
)
)
giusto 
grazie!
grazie!
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