Sottovarietà embedded
Salve, di recente ho incontrato il concetto di sottovarietà embedded di una varietà differenziabile e mi sono sorti dei dubbi. Con un po' di fatica ho dimostrato questa proposizione:
Siano M una varietà differenziabile di dimensione $m$, $n <= m$ e $N \subset M$. Sono equivalenti i seguenti fatti:
1) per ogni $a \in N$, esistono una varietà $P$ di dimensione $n$, un intorno $U$ di $a$ e una summersione $F: U -> P$ tale che $U \cap N$ è una fibra di $F$;
2) per ogni $a \in N$, esiste una carta $(U, \phi)$ intorno ad $a$ tale che $\phi(U \cap N) = \phi(U) \cap \{ x \in \mathbb{R}^m : \ x_{n+1} = ... = x_m = 0 }$;
3) per ogni $a \in N$, esistono una varietà $P$, un intorno $U$ di $M$ e un embedding $i : P -> M$ tale che $im \ i = U \cap N$.
Nel corso che sto seguendo, un sottoinsieme con queste proprietà è stato definito una sottovarietà embedded di $M$. Dalla 2 discende direttamente che $N$, con la topologia di sottospazio, ha una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione $n$. Inoltre si può provare che, in queste ipotesi, vale la seguente proprietà:
4) Siano $a \in N$, $f \in C^{infty}(N)$. Allora esistono $\tilde{f} \in C^{infty}(M)$ e un intorno aperto $U$ di $a$ in $M$ tali che $f = \tilde{f}$ su $U \cap N$.
Ora il mio dubbio è questo: le proprietà equivalenti 1), 2), 3) equivalgono a dire che $N$ è l'immagine di un embedding in $M$ (questa dovrebbe essere la definizione più naturale!), o la fibra di una summersione di dominio $M$? Come si potrebbe passare dal locale al globale? In caso contrario, quale potrebbe essere un controesempio?
Inoltre, la 4) può implicare in qualche modo una delle precedenti? La formulazione della 4) presuppone una struttura differenziabile su $N$, per cui questa dovrebbe assumere la forma "esiste una struttura differenziabile su $N$ tale che..."
Vi ringrazio in anticipo!
Siano M una varietà differenziabile di dimensione $m$, $n <= m$ e $N \subset M$. Sono equivalenti i seguenti fatti:
1) per ogni $a \in N$, esistono una varietà $P$ di dimensione $n$, un intorno $U$ di $a$ e una summersione $F: U -> P$ tale che $U \cap N$ è una fibra di $F$;
2) per ogni $a \in N$, esiste una carta $(U, \phi)$ intorno ad $a$ tale che $\phi(U \cap N) = \phi(U) \cap \{ x \in \mathbb{R}^m : \ x_{n+1} = ... = x_m = 0 }$;
3) per ogni $a \in N$, esistono una varietà $P$, un intorno $U$ di $M$ e un embedding $i : P -> M$ tale che $im \ i = U \cap N$.
Nel corso che sto seguendo, un sottoinsieme con queste proprietà è stato definito una sottovarietà embedded di $M$. Dalla 2 discende direttamente che $N$, con la topologia di sottospazio, ha una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione $n$. Inoltre si può provare che, in queste ipotesi, vale la seguente proprietà:
4) Siano $a \in N$, $f \in C^{infty}(N)$. Allora esistono $\tilde{f} \in C^{infty}(M)$ e un intorno aperto $U$ di $a$ in $M$ tali che $f = \tilde{f}$ su $U \cap N$.
Ora il mio dubbio è questo: le proprietà equivalenti 1), 2), 3) equivalgono a dire che $N$ è l'immagine di un embedding in $M$ (questa dovrebbe essere la definizione più naturale!), o la fibra di una summersione di dominio $M$? Come si potrebbe passare dal locale al globale? In caso contrario, quale potrebbe essere un controesempio?
Inoltre, la 4) può implicare in qualche modo una delle precedenti? La formulazione della 4) presuppone una struttura differenziabile su $N$, per cui questa dovrebbe assumere la forma "esiste una struttura differenziabile su $N$ tale che..."
Vi ringrazio in anticipo!
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