Sottovarietà aperta di una varietà affine
Salve a tutti, ho qualche difficoltà con questo esercizio sulle varietà (affini e non).
Abbiamo la varietà affine $A^2$, spazio affine di dimensione 2 (su un campo $K$ algebricamente chiuso, caratteristica bella e senza problemi).
Prendiamo poi la sottovarietà (aperta) $X = A^2-{0}$, e consideriamo il morfismo inclusione: $i: X \to A^2$
Vogliamo provare che $i**:O_{A^2}(A^2) \to O_X(X)$ è un isomorfismo di algebre.
$O_{A^2}$ è uguale a $K[x,y]$ (polinomi di due variabili), e quindi in sostanza $i**$ è il morfismo che manda un polinomio $f$ in $f@i$, cioè letto su $X$.
L'iniettività è facile, direi. Per $P$ arbitrario in $X$, $j**f(P)=f(j(P))=f(P)$, per cui a polinomi $f$ diversi corrisponderanno immagini $j**f$ diverse.
Non riesco a provare la suriettività.
A priori quello che so su un elemento $g in O_X(X)$, è che si scrive localmente come rapporto di polinomi. ovvero per ogni punto $P in X$ esiste un intorno in cui $g(P) = {p(P)}/{q(P)}$ per tutti i punti dell'intorno.. ma non so come fare a mostrare la suriettività.. e non capisco qual è la strada giusta.
L'esercizio chiede poi di dare una presentazione di $X$, e non so da che parte cominciare.
Se qualcuno ha qualche idea.. è d'aiuto
Grazie
Abbiamo la varietà affine $A^2$, spazio affine di dimensione 2 (su un campo $K$ algebricamente chiuso, caratteristica bella e senza problemi).
Prendiamo poi la sottovarietà (aperta) $X = A^2-{0}$, e consideriamo il morfismo inclusione: $i: X \to A^2$
Vogliamo provare che $i**:O_{A^2}(A^2) \to O_X(X)$ è un isomorfismo di algebre.
$O_{A^2}$ è uguale a $K[x,y]$ (polinomi di due variabili), e quindi in sostanza $i**$ è il morfismo che manda un polinomio $f$ in $f@i$, cioè letto su $X$.
L'iniettività è facile, direi. Per $P$ arbitrario in $X$, $j**f(P)=f(j(P))=f(P)$, per cui a polinomi $f$ diversi corrisponderanno immagini $j**f$ diverse.
Non riesco a provare la suriettività.
A priori quello che so su un elemento $g in O_X(X)$, è che si scrive localmente come rapporto di polinomi. ovvero per ogni punto $P in X$ esiste un intorno in cui $g(P) = {p(P)}/{q(P)}$ per tutti i punti dell'intorno.. ma non so come fare a mostrare la suriettività.. e non capisco qual è la strada giusta.
L'esercizio chiede poi di dare una presentazione di $X$, e non so da che parte cominciare.
Se qualcuno ha qualche idea.. è d'aiuto
Grazie
Risposte
Ok, dovrei avere risolto. Non è brevissimo, per cui eventualmente posto lo svolgimento se qualcuno è interessato
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