Sottospazio $W={p(t) \in V | p^m(0) = 0, p(1) = 0$
Ciao a tutti, c'e' questo esercizio che non mi sconfiffera:
Si consideri lo spazio dei polinomi a coefficienti reali nell'incognita $t$: $V = RR_(\leq 3)[t]$ e il suo sottospazio $W={p(t) \in V | p^m(0) = 0, p(1) = 0$.
Calcolare la dimensione di $W$ e trovare un sottospazio $U$ di $V$ tale che $V = U \oplus W$.
Ora, forse sono io che non ho capito cosa vuol dire $p^m(0)$: la derivata m-esima del polinomio, valutata nel punto 0. Giusto? Gia' questa interpretazione mi sembra strana, perche' io avrei scritto la derivata m-esima come $p^((m))(0)$
Perche' se cosi' fosse, un generico polinomio di grado $\leq 3$ verrebbe scritto nella forma: $a + bt + ct^2 + dt^3$, ma ovviamente, valutandolo in 0, si avrebbe che $p(0) = a$. Allo stesso modo, per ogni derivata, avremmo $p^1(0) = b$, $p^2(0) = c$, $p^3(0) = d$ e $p^n(0) = 0, n > 3$.
Questo mi induce a pensare che qualsiasi polinomio con coefficienti non nulli non soddisferebbe la condizione, e quindi $W = {0}$, ma mi sembra davvero strano...
Pero' mi sembra altrettanto strano considerare $p^m(0)$ come l'elevamento a potenza del polinomio... e se m e' un indice, non capisco di cosa (purtroppo l'esercizio non dice altro).
Qualche idea? Io non mi faccio problemi a risolvere gli esercizi in 3 modi diversi
ma se nell'esame mi trovo una cosa simile e non capisco, non sarebbe affatto divertente.
Grazie in anticipo!
Si consideri lo spazio dei polinomi a coefficienti reali nell'incognita $t$: $V = RR_(\leq 3)[t]$ e il suo sottospazio $W={p(t) \in V | p^m(0) = 0, p(1) = 0$.
Calcolare la dimensione di $W$ e trovare un sottospazio $U$ di $V$ tale che $V = U \oplus W$.
Ora, forse sono io che non ho capito cosa vuol dire $p^m(0)$: la derivata m-esima del polinomio, valutata nel punto 0. Giusto? Gia' questa interpretazione mi sembra strana, perche' io avrei scritto la derivata m-esima come $p^((m))(0)$
Perche' se cosi' fosse, un generico polinomio di grado $\leq 3$ verrebbe scritto nella forma: $a + bt + ct^2 + dt^3$, ma ovviamente, valutandolo in 0, si avrebbe che $p(0) = a$. Allo stesso modo, per ogni derivata, avremmo $p^1(0) = b$, $p^2(0) = c$, $p^3(0) = d$ e $p^n(0) = 0, n > 3$.
Questo mi induce a pensare che qualsiasi polinomio con coefficienti non nulli non soddisferebbe la condizione, e quindi $W = {0}$, ma mi sembra davvero strano...
Pero' mi sembra altrettanto strano considerare $p^m(0)$ come l'elevamento a potenza del polinomio... e se m e' un indice, non capisco di cosa (purtroppo l'esercizio non dice altro).
Qualche idea? Io non mi faccio problemi a risolvere gli esercizi in 3 modi diversi
ma se nell'esame mi trovo una cosa simile e non capisco, non sarebbe affatto divertente.Grazie in anticipo!
Risposte
Mmm... non mi vengono altre idee a parte quelle due proposte da te. Però l'elevamento a potenza mi sembra decisamente più probabile. Tieni presente che qualsiasi polinomio valutato in zero è uguale al valore del suo termine noto. E tieni presente che il termine noto di una potenza qualunque di un polinomio è la potenza del termine noto. Quindi io interpreterei la tua condizione come "termine noto uguale a zero". Traducendo l'altra condizione trovi un sistema lineare nei coefficienti del tuo polinomio generico che individua sicuramente uno spazio vettoriale W.
Io propendo per la derivata. Infatti se indichi con $"D"^m$ l'operatore di derivazione e con $"eval"_0$ quello di valutazione nello zero (NOTA BENE: Questi sono entrambi operatori lineari) hai che ${p\inK[x]\ :\ p^(m)(0)=0}="Ker"["eval"_0circ"D"^m]$.
Se invece pensi che $p^m$ sia la potenza $m$-esima hai che $p^(m)(0)=0$ se e solo se $p(0)=0$. Pure questo è un sottospazio vettoriale (si tratta di $"ker"["eval"_0]$), ma allora che bisogno c'era di quella $m$?
Se invece pensi che $p^m$ sia la potenza $m$-esima hai che $p^(m)(0)=0$ se e solo se $p(0)=0$. Pure questo è un sottospazio vettoriale (si tratta di $"ker"["eval"_0]$), ma allora che bisogno c'era di quella $m$?
Quindi, dissonance, tu suggerisci un esercizio parametrico? Se fosse come dici tu la consegna non dovrebbe essere del tipo "calcolare la dimensione di W al variare di $m$"? Invece, se il testo è proprio quello riportato da akiross non si fa proprio nessun riferimento a $m$, il che mi fa pensare che la soluzione sia del tutto ininfluente dalla scelta di $m$... Non so, è un'idea come un'altra...
Io credo che quella $m$ sia una potenza... e credo che akiross si sia dimenticato di scrivere qualcosa del tipo "per qualche $m\in NN$ ! 
Tze', miscredenti!
No, l'esercizio non menziona proprio $m$! (A parte li) Per questo mi ha lasciato un po' basito :S
No, l'esercizio non menziona proprio $m$! (A parte li) Per questo mi ha lasciato un po' basito :S
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