Sottospazio vettoriale R^4
Salve ragazzi,non riesco a risolvere gli ultimi 2 punti di questo esercizio.MI sapreste aiutare??
Sia data la matrice
A = $((2,1,2,-1),(1,-1,1,-2),(1,1,1,0))$
1)Si calcoli la dimensione e si determini una base per il sottospazio vettoriale T di R^4 generato dalle righe A1,A2,A3
della matrice A
2)Si calcoli la dimensione e si determini una base per il sottospazio vettoriale S={x $in$ $R^4$ |Ax=0}
(ove 0 è il vettore nullo di $R^3$)
3)Si indichi se le dimensioni calcolate nei punti precedenti debbano soddisfare una relazione indipendente dalle specifiche
componenti di A,ed eventualmente quale.
Allora nel primo punto ho ridotto a scalini la matrice e mi è uscita questa:
A=$((2,1,2,-1),(0,-3,0,-3),(0,2,0,2))$,da qui ho trovato sia il nucleo
che le due immagini,cioè ho preso come immagini i vettori in cui sono presenti i pivot:
Imf={$((2),(1),(2),(-1))$,$((0),(-3),(0),(-3))$}.
Però non riesco a fare il secondo punto.Secondo me devo aggiungere a lato della matrice un'altra colonna
costituita da tutti zeri?Secondo voi è giusto?E il terzo punto?Help me
Sia data la matrice
A = $((2,1,2,-1),(1,-1,1,-2),(1,1,1,0))$
1)Si calcoli la dimensione e si determini una base per il sottospazio vettoriale T di R^4 generato dalle righe A1,A2,A3
della matrice A
2)Si calcoli la dimensione e si determini una base per il sottospazio vettoriale S={x $in$ $R^4$ |Ax=0}
(ove 0 è il vettore nullo di $R^3$)
3)Si indichi se le dimensioni calcolate nei punti precedenti debbano soddisfare una relazione indipendente dalle specifiche
componenti di A,ed eventualmente quale.
Allora nel primo punto ho ridotto a scalini la matrice e mi è uscita questa:
A=$((2,1,2,-1),(0,-3,0,-3),(0,2,0,2))$,da qui ho trovato sia il nucleo
che le due immagini,cioè ho preso come immagini i vettori in cui sono presenti i pivot:
Imf={$((2),(1),(2),(-1))$,$((0),(-3),(0),(-3))$}.
Però non riesco a fare il secondo punto.Secondo me devo aggiungere a lato della matrice un'altra colonna
costituita da tutti zeri?Secondo voi è giusto?E il terzo punto?Help me
Risposte
Se hai studiato la teoria ti dovrebbe saltare subito all'occhio una cosa 
Che relazione c'è tra \(S\) e la funzione lineare associata alla matrice \(A\)? Una volta capito questo, l'esercizio è risolto.
Che relazione c'è tra \(S\) e la funzione lineare associata alla matrice \(A\)? Una volta capito questo, l'esercizio è risolto.
Aiutino??forse i vettori colonna della matrice sono a 2 a 2 linearmente dipendenti?
io ho ipotizzato di fare questo:
x1$((2),(0),(0))$+ x2$((1),(-3),(2))$+ x3$((2),(0),(0))$ +x4$((1),(-3),(2))$ = $((0),(0),(0))$
non sò proprio come fare:(
x1$((2),(0),(0))$+ x2$((1),(-3),(2))$+ x3$((2),(0),(0))$ +x4$((1),(-3),(2))$ = $((0),(0),(0))$
non sò proprio come fare:(
Qualcuno che mi dica se è corretto o meno?
Da qui mi sono ricavato il sistema:
2x1+x2+2x3+x4=0
-3x2-3x4=0
2x2+2x4=0
come faccio a trovare la base?
Da qui mi sono ricavato il sistema:
2x1+x2+2x3+x4=0
-3x2-3x4=0
2x2+2x4=0
come faccio a trovare la base?
Ciao, mi riaggancio a quanto ti dicevano prima: data $$A = \begin{bmatrix}2&1&2&-1\\1&-1&1&-2\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$ abbiamo che $$Ax=\textbf{0}$$ è la forma matriciale per il sistema lineare omogeneo associato alla matrice $A$. Dal punto di vista dell'applicazione lineare, come si chiama l'insieme di vettori la cui immagine è il vettore nullo? E' il kernel (o nucleo) dell'applicazione. Con pochi semplici passaggi la matrice può essere riscritta come $$A' = \begin{bmatrix}1&-1&1&-2\\0&3&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$ il cui rango è $2$, motivo per cui il nucleo avrà dimensione $4-2=2$. A questo punto possiamo continuare la risoluzione con il solito metodo (ispirato dal teorema di Rouchè-Capelli) oppure possiamo concludere a occhio e dire $$\text{Ker}\left[A\right] = \text{Im}\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\\-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$ Tutto chiaro?
A livello teorico ho capito perfettamente,però a livello pratico,mi sono bloccato nel calcolo del Ker.
Cioè nel sistema io ho
x1-x2+x3-2x4=0
3x2+3x4=0
da cui ricavo x2=-x4
e x1=-x4+x3
e x4=-x2
cioè il mio problema è sapere come trovare le immagini.
Per quanto riguarda il punto 3, cosa posso concludere??
Cioè nel sistema io ho
x1-x2+x3-2x4=0
3x2+3x4=0
da cui ricavo x2=-x4
e x1=-x4+x3
e x4=-x2
cioè il mio problema è sapere come trovare le immagini.
Per quanto riguarda il punto 3, cosa posso concludere??
Consiglierei di tenere tutto in forma matriciale: siamo arrivati alla matrice $$A' = \begin{bmatrix}1&-1&1&-2\\0&3&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$ Ora proseguiamo con Rouchè-Capelli e riscriviamo in questo modo $$\left[\begin{array}{cc|c}1&-1&-s+2t\\0&3&-3t\end{array}\right]$$ Questo ci porta a dire che la seconda componente della soluzione è $-t$ mentre la prima è $-s+2t-t = -s+t$. In conclusione il generico vettore soluzione del sistema sarà dato da $$\begin{bmatrix}-s+t\\-t\\s\\t\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix} + t\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\1\end{bmatrix}$$ Quei due vettori sono una base e coincidono con quelli che prima avevamo trovato "a occhio".
Invece,scusa se insisto,dal sistema di equazioni come ho scritto io,come si possono ricavare le immagini??
Il tuo sistema è $$\begin{cases}x_1-x_2+x_3-2x_4=0 \\ x_2+x_4=0\end{cases}$$ da cui ricavi $$\begin{cases}x_1=x_2-x_3+2x_4\\ x_2=-x_4\end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases}x_1=x_4-x_3 \\ x_2=-x_4\end{cases}$$ Puoi quindi dire che il generico vettore delle soluzioni è dato da $$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_4-x_3 \\ -x_4\\x_3\\x_4\end{bmatrix} = x_3\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}+x_4\begin{bmatrix}1\\-1\\0\\1\end{bmatrix}.$$
Ah okok grazie ancora...Ma quindi le dimensioni,che particolare relazione devono soddisfare indipendentemente dalle specifiche componenti di A?
Prova a pensare al teorema nullità più rango...
Cioè che n=dim Imf(f) + dim Ker(f),la dimensione totale deve essere uguale alla somma della dimensione dell'immagine più la dimensione del nucleo, e quest'ultima è uguale al rango.
No veramente il rango è uguale alla dimensione dell'immagine, non del nucleo.
okok grazie 
Scusa ,mi potreste spiegare gentilmente i passaggi che ti sono serviti per ridurla a scalini?
Cioè per ottenere la matrice:$((1,-1,1,-2),(0,3,0,3),(0,0,0,0))$
Cioè per ottenere la matrice:$((1,-1,1,-2),(0,3,0,3),(0,0,0,0))$
Ciao, il primo passaggio è stato quello di scambiare l'ordine delle righe e mettere in cima la seconda (giusto per avere un $1$ in prima posizione ed evitare le frazioni). Poi si prosegue con la riduzione di Gauss.
Io ho provato facendo sempre la riduzione a scalini e ottengo come matrice finale:
$((1,-1,1,-2),(0,-1,0,3),(0,2,0,2))$
non mi riesco a trovare con la tua seconda riga
$((1,-1,1,-2),(0,-1,0,3),(0,2,0,2))$
non mi riesco a trovare con la tua seconda riga
Come ti avevo detto, riordino le righe: $$\begin{bmatrix}1&-1&1&-2\\2&1&2&-1\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$ Ora alla seconda sottraggo il doppio della prima e alla terza sottraggo la prima $$\begin{bmatrix}1&-1&1&-2\\0&3&0&3\\0&2&0&2\end{bmatrix}$$ La seconda e la terza riga sono linearmente dipendenti, quindi sicuramente si può arrivare a $$\begin{bmatrix}1&-1&1&-2\\0&3&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}$$
Ho fatto un errore di calcolo io quando sottraevo il doppio della prima nella seconda...
mi potresti dare un aiutino anche in questo esercizio ? (sempre se posso): viewtopic.php?f=37&t=128162
mi potresti dare un aiutino anche in questo esercizio ? (sempre se posso): viewtopic.php?f=37&t=128162
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