Sottospazio vettoriale dubbio
Buon pomeriggio a tutti mi sono imbattuto in questo esercizio dall'aspetto semplice ma mi lascia dei grattacapi. 
Si considerino la matrice
A=$| ( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) |$
e l'insieme $V={B in M_3x3(R)|AB=0}$
a)dimostrare che V è sottospazio vettoriale di $ M_3x3$
b)determinare la dimensione e una base di V
La seconda richiesta è fattibile se riuscissi a fare la prima.Ho provato a fare la moltiplicazione con una matrice 3x3 d'incognite e imporre a sistema che ogni singola componente dia zero.Ma non capisco se è giusto e andare avanti..Se riuscite ad aiutarmi ve ne sarei riconoscente.Vi ringrazio in anticipo
Si considerino la matrice
A=$| ( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) |$
e l'insieme $V={B in M_3x3(R)|AB=0}$
a)dimostrare che V è sottospazio vettoriale di $ M_3x3$
b)determinare la dimensione e una base di V
La seconda richiesta è fattibile se riuscissi a fare la prima.Ho provato a fare la moltiplicazione con una matrice 3x3 d'incognite e imporre a sistema che ogni singola componente dia zero.Ma non capisco se è giusto e andare avanti..Se riuscite ad aiutarmi ve ne sarei riconoscente.Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Per dimostrare che $V$ è un sottospazio vettoriale di $cc(M)_(3x3) (RR)$ devi provare due cose:
1) $AA B_1,B_2 in V$, $B_1+B_2 in V$
2) $AA B_1 in V$ $AA lambda in RR$, $lambda*B_1 in V$
Partiamo dal punto 1: Siano $B_1, B_2 in V$. Allora, per come è definito $V$, $A*B_1=0$ e $A*B_2=0$.
Dobbiamo dimostrare che $A*(B_1+B_2)=0$....
1) $AA B_1,B_2 in V$, $B_1+B_2 in V$
2) $AA B_1 in V$ $AA lambda in RR$, $lambda*B_1 in V$
Partiamo dal punto 1: Siano $B_1, B_2 in V$. Allora, per come è definito $V$, $A*B_1=0$ e $A*B_2=0$.
Dobbiamo dimostrare che $A*(B_1+B_2)=0$....
"Gi8":
Per dimostrare che $V$ è un sottospazio vettoriale di $cc(M)_(3x3) (RR)$ devi provare due cose:
1) $AA B_1,B_2 in V$, $B_1+B_2 in V$
2) $AA B_1 in V$ $AA lambda in RR$, $lambda*B_1 in V$
Partiamo dal punto 1: Siano $B_1, B_2 in V$. Allora, per come è definito $V$, $A*B_1=0$ e $A*B_2=0$.
Dobbiamo dimostrare che $A*(B_1+B_2)=0$....
Ok le 2 condizioni sono per dimostare che è sottspazio.Ma ora?Come dovrei procedere devo fare una matrice?
Basta dire che $A*(B_1+B_2)=A*B_1+A*B_2=0+0=0$, da cui si ha $B_1+B_2 in V$
"Gi8":Ok ho capito,e come posso allora ricavare il vettore V da cui ricavare le richieste del secondo punto?..Grazie intato
Basta dire che $A*(B_1+B_2)=A*B_1+A*B_2=0+0=0$, da cui si ha $B_1+B_2 in V$
Intanto, prego è un piacere 
Poi ti faccio un appunto: $V$ non è un vettore, ma un insieme di matrici, anzi è un sottospazio di $cc(M)_(3x3) (RR)$
Per risolvere il secondo punto devi capire quali matrici appartengono all'insieme $V$
Sia $B=((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3))$ generica matrice appartenente a $V$. Cerchiamo di capire come è fatta:
Deve valere $A*B=0 => (( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ))*((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3))=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Vengono fuori nove equazioni nelle incognite della matrice $B$. A te i conti
Poi ti faccio un appunto: $V$ non è un vettore, ma un insieme di matrici, anzi è un sottospazio di $cc(M)_(3x3) (RR)$
Per risolvere il secondo punto devi capire quali matrici appartengono all'insieme $V$
Sia $B=((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3))$ generica matrice appartenente a $V$. Cerchiamo di capire come è fatta:
Deve valere $A*B=0 => (( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ))*((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3))=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Vengono fuori nove equazioni nelle incognite della matrice $B$. A te i conti
"Gi8":E con quei valori faccio il secondo punto?
Intanto, prego è un piacere
Poi ti faccio un appunto: $V$ non è un vettore, ma un insieme di matrici, anzi è un sottospazio di $cc(M)_(3x3) (RR)$
Per risolvere il secondo punto devi capire quali matrici appartengono all'insieme $V$
Sia $B=((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3))$ generica matrice appartenente a $V$. Cerchiamo di capire come è fatta:
Deve valere $A*B=0 => (( 1 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ))*((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3),(z_1,z_2,z_3))=((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Vengono fuori nove equazioni nelle incognite della matrice $B$. A te i conti
Sì. Cosa ti viene?
Mi viene
a=-2t
b=-2s
c=-2k
d=t
e=s
f=k
g=h=i=0
a=-2t
b=-2s
c=-2k
d=t
e=s
f=k
g=h=i=0
Faccio la matrice a gradini e mi rimane la prima riga dove calcolo base e nucleo xD
Quindi quant'è la dimensione di $V$? E una sua base?
PS: Nucleo? non c'era da trovare nell'esercizio che hai postato
PS: Nucleo? non c'era da trovare nell'esercizio che hai postato
"Gi8":la dimensione è 1 sempre.
Quindi quant'è la dimensione di $V$? E una sua base?
PS: Nucleo? non c'era da trovare nell'esercizio che hai postato
se t è diverso da 0 la base è la prima colonna
se t è 0 ma s diverso da 0 la base è la seconda colonna
se t è 0 s è 0 ma k diverso da 0 la base è la terza colonna..è giusto?
No, non ci siamo proprio.
La base di uno spazio vettoriale è un insieme di elementi dello spazio che sono linearmente indipendenti e che generano lo spazio.
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi della base dello spazio stesso.
Nel nostro caso la base dovrà essere un insieme di elementi di $V$, i cui elementi sono matrici, non vettori. Tra l'altro la dimensione non è $1$, ma $3$
Ps: aggiungo che ormai sarebbe ora di scrivere correttemente le formule matematiche, per ottenere una scrittura più chiara e leggibile.
La base di uno spazio vettoriale è un insieme di elementi dello spazio che sono linearmente indipendenti e che generano lo spazio.
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi della base dello spazio stesso.
Nel nostro caso la base dovrà essere un insieme di elementi di $V$, i cui elementi sono matrici, non vettori. Tra l'altro la dimensione non è $1$, ma $3$
Ps: aggiungo che ormai sarebbe ora di scrivere correttemente le formule matematiche, per ottenere una scrittura più chiara e leggibile.
"Gi8":
No, non ci siamo proprio.
La base di uno spazio vettoriale è un insieme di elementi dello spazio che sono linearmente indipendenti e che generano lo spazio.
La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di elementi della base dello spazio stesso.
Nel nostro caso la base dovrà essere un insieme di elementi di $V$, i cui elementi sono matrici, non vettori. Tra l'altro la dimensione non è $1$, ma $3$
Ps: aggiungo che ormai sarebbe ora di scrivere correttemente le formule matematiche, per ottenere una scrittura più chiara e leggibile.
Ok scriverò correttamente le formule.
la dimensione non è il rango scusa?
No, è quello che ho scritto prima.
"Gi8":Si scusami ho fatto un pò di confusione ma se il rango è uno allora sono linearmente dipendenti o sbaglio?
No, è quello che ho scritto prima.
Calma, calma. Se il rango di una matrice 3x3 è 1 allora i vettori che la compongono sono linearmente dipendenti.
Ma cosa c'entra? Niente. Sei riuscito a scrivere la soluzione del secondo punto o no?
Ma cosa c'entra? Niente. Sei riuscito a scrivere la soluzione del secondo punto o no?
"Gi8":in pratica la matrice che ottengo è la seguente
Calma, calma. Se il rango di una matrice 3x3 è 1 allora i vettori che la compongono sono linearmente dipendenti.
Ma cosa c'entra? Niente. Sei riuscito a scrivere la soluzione del secondo punto o no?
$| ( -2t , -2s , -2k ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) |$
Ora la base viene vedendo le colonne $ t(-2,0,0) $se t $!=0$ o sbaglio?
Ma perchè fai il determinante? Non c'entra nulla.
Secondo me viene $B=( ( -2t , -2s , -2k ),( t , s , k ),( 0 , 0 , 0 ) )$ con $t,s,k in RR$
Quindi tutte le matrici di $V$ sono di questo tipo.
Arrivati a questo punto, dobbiamo trovare una base.
Ponendo $t=1$, $s=0$, $k=0$ abbiamo $B_1=( ( -2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ponendo $t=0$, $s=1$, $k=0$ abbiamo $B_2=( ( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ponendo $t=0$, $s=0$, $k=1$ abbiamo $B_3=( ( 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Eccola qui la base: $cc(B)={B_1,B_2,B_3} => dim(V)=3$
Secondo me viene $B=( ( -2t , -2s , -2k ),( t , s , k ),( 0 , 0 , 0 ) )$ con $t,s,k in RR$
Quindi tutte le matrici di $V$ sono di questo tipo.
Arrivati a questo punto, dobbiamo trovare una base.
Ponendo $t=1$, $s=0$, $k=0$ abbiamo $B_1=( ( -2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ponendo $t=0$, $s=1$, $k=0$ abbiamo $B_2=( ( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ponendo $t=0$, $s=0$, $k=1$ abbiamo $B_3=( ( 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Eccola qui la base: $cc(B)={B_1,B_2,B_3} => dim(V)=3$
"Gi8":
Ma perchè fai il determinante? Non c'entra nulla.
Secondo me viene $B=( ( -2t , -2s , -2k ),( t , s , k ),( 0 , 0 , 0 ) )$ con $t,s,k in RR$
Quindi tutte le matrici di $V$ sono di questo tipo.
Arrivati a questo punto, dobbiamo trovare una base.
Ponendo $t=1$, $s=0$, $k=0$ abbiamo $B_1=( ( -2 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ponendo $t=0$, $s=1$, $k=0$ abbiamo $B_2=( ( 0 , -2 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Ponendo $t=0$, $s=0$, $k=1$ abbiamo $B_3=( ( 0 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Eccola qui la base: $cc(B)={B_1,B_2,B_3} => dim(V)=3$
Ti ringrazio è meglio che vada a zappare...
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