Sottospazio vettoriale di polinomi

[frabossa95]

Salve a tutti, ho un problema con la risoluzione di un esercizio di algebra lineare, spero possiate aiutarmi!

Mi viene dato il seguente sottospazio

L:{ f(x)= a+bx+c*(x^2)+d*(x^3)+e*(x^4) | a+2c-e=b=0}

che è sottospazio vettoriale di R4[x], ovvero lo spazio vettoriale dei polinomi reali di grado al massimo 4.
L'esercizio mi chiede di determinare la dimensione di tale sottospazio e una base, ma non so come fare

Ho pensato di risolvere un sistema formato dalle due equzioni che descrivono il sottospazio, ma non saprei procedere, mi potete aiutare?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Lo spazio $R_4[x]$, essendo descritto da 5 parametri liberi (i coefficienti del polinomio di quarto grado) ha una struttura equivalente a $RR^5$, quindi, per brevità notazionale, indicherò il generico vettore (polinomio) $a+bx+cx^2+dx^3+ex^4 in R_4[x]$ con il simbolo $[a,b,c,d,e]$.

In sostanza: $L={[a,b,c,d,e] | a+2c-e=0, b=0}$

Impostando il sistema ${(a+2c-e=0),(b=0):}$

si ricava ${(a=e-2c),(b=0):}$

quindi si ha: $L={[e-2c,0,c,d,e] | c,d,e in RR}$

cioè: $L={c[-2,0,1,0,0]+d[0,0,0,1,0]+e[1,0,0,0,1] | c,d,e in RR}$

da cui si deduce che $dimL=3$

Una possibile base di $L$ è data da ${[-2,0,1,0,0]; [0,0,0,1,0]; [1,0,0,0,1]}={-2+x^2,x^3,1+x^4}$

Saluti.